thumb|upright=1.35|Una doble burbuja. Nótese que la superficie que separa la burbuja inferior pequeña de la burbuja grande se abomba hacia la burbuja grande.

En la teoría matemática de las superficies mínimas, el teorema de la doble burbuja afirma que la forma que encierra y separa dos volúmenes dados y tiene la mínima área superficial posible es una doble burbuja estándar: tres superficies esféricas que se encuentran en ángulos de 120° sobre un círculo común. El teorema de la doble burbuja fue formulado y se pensó que era cierto en el , y se convirtió en un «serio foco de investigación» hacia 1989, pero no fue demostrado hasta 2002.

La demostración combina múltiples ingredientes. El espacio compacto de las corrientes rectificables (una definición generalizada de superficies) muestra que existe una solución. Un argumento de simetría prueba que la solución debe ser una superficie de revolución, y se puede restringir aún más a tener un número acotado de piezas suaves. La demostración de Jean Taylor de las Leyes de Plateau describe cómo estas piezas deben estar formadas y conectadas entre sí, y un análisis final de casos muestra que, entre las superficies de revolución conectadas de esta manera, solo la doble burbuja estándar tiene área localmente mínima.

El teorema de la doble burbuja extiende la desigualdad isoperimétrica, según la cual el recinto de perímetro mínimo de cualquier área es un círculo, y el recinto de área superficial mínima de un solo volumen es una esfera. Resultados análogos sobre el recinto óptimo de dos volúmenes se generalizan a formas ponderadas de energía superficial, a la medida gaussiana de superficies y a espacios euclídeos de cualquier dimensión.

Enunciado Según la desigualdad isoperimétrica, el recinto de perímetro mínimo de cualquier área es un círculo, y el recinto de área superficial mínima de un solo volumen es una esfera. La existencia de una forma con área superficial acotada que encierra dos volúmenes es obvia: simplemente enciérrelos con dos esferas separadas. Es menos obvio que deba existir alguna forma que encierre dos volúmenes y tenga la mínima área superficial posible: podría ser el caso de que una secuencia de formas converja a un mínimo (o a cero) sin alcanzarlo. Este problema también plantea cuestiones definicionales complicadas: ¿qué se entiende por una forma, el área superficial de una forma y el volumen que encierra, cuando tales cosas pueden ser no suaves o incluso fractales? No obstante, es posible formular el problema de los recintos óptimos de manera rigurosa utilizando la teoría de las corrientes rectificables, y demostrar usando la compacidad en el espacio de corrientes rectificables que todo par de volúmenes tiene un recinto de área mínima.

thumb|Doble burbujas en el plano euclídeo con tres combinaciones diferentes de áreas. Rotando cada una de estas en 3D, con su línea de simetría vertical como eje de rotación, produce una doble burbuja tridimensional como superficie de revolución.|262x262px

Las Leyes de Plateau afirman que cualquier forma mínima por piezas suaves que encierre cualquier volumen o conjunto de volúmenes debe tomar una forma comúnmente vista en las burbujas de jabón en la que superficies de curvatura media constante se encuentran de a tres, formando ángulos diedros de 120° ( radianes). En una doble burbuja estándar, tres parches de esferas se encuentran en este ángulo a lo largo de un círculo compartido. Dos de estas superficies esféricas forman el límite exterior de la doble burbuja y una tercera en el interior separa los dos volúmenes entre sí. En burbujas físicas, los radios de las esferas son inversamente proporcionales a las diferencias de presión entre los volúmenes que separan, según la ecuación de Young-Laplace. Esta conexión entre presión y radio se refleja matemáticamente en el hecho de que, para cualquier doble burbuja estándar, los tres radios , y de las tres superficies esféricas obedecen la ecuación

donde es el radio menor de las dos burbujas exteriores. En el caso especial en que los dos volúmenes y los dos radios exteriores son iguales, calcular el radio medio usando esta fórmula lleva a una división por cero. En este caso, la superficie media es en cambio un disco plano, que se puede interpretar como un parche de una esfera de radio infinito. El teorema de la doble burbuja afirma que, para cualquier par de volúmenes, la doble burbuja estándar es la forma de área mínima que los encierra; ningún otro conjunto de superficies encierra la misma cantidad de espacio con menos área total.

En el plano euclídeo, análogamente, el perímetro mínimo de un sistema de curvas que encierra dos áreas dadas está formado por tres arcos circulares, con la misma relación entre sus radios, que se encuentran en el mismo ángulo de 120°. Para dos áreas iguales, el arco medio degenera en un segmento de línea recta. La doble burbuja estándar tridimensional se puede ver como una superficie de revolución de esta doble burbuja bidimensional. En cualquier dimensión superior, el recinto óptimo para dos volúmenes está formado nuevamente por tres parches de hipersferas, que se encuentran en el mismo ángulo de 120°.

Historia La desigualdad isoperimétrica tridimensional, según la cual una esfera tiene la mínima área superficial para su volumen, fue formulada por Arquímedes pero no demostrada rigurosamente hasta el , por Hermann Schwarz. En el , Joseph Plateau estudió la doble burbuja, y la veracidad del teorema de la doble burbuja se asumió sin demostración por C. V. Boys en la edición de 1912 de su libro sobre burbujas de jabón. Plateau formuló las Leyes de Plateau, que describen la forma y las conexiones entre piezas suaves de superficies en burbujas de jabón compuestas; estas fueron demostradas matemáticamente para recintos de volumen mínimo por Jean Taylor en 1976.

Hacia 1989, el problema de la doble burbuja se había convertido en un «serio foco de investigación». En 1991, Joel Foisy, un estudiante de grado en el Williams College, fue el líder de un equipo de estudiantes de grado que demostró el análogo bidimensional de la conjetura de la doble burbuja. En su tesis de grado, Foisy fue el primero en proporcionar un enunciado preciso de la conjetura de la doble burbuja tridimensional, pero no pudo demostrarla.

Una demostración para el caso restringido de la conjetura de la doble burbuja, para dos volúmenes iguales, fue anunciada por Joel Hass y Roger Schlafly en 1995, y publicada en 2000.La demostración de la conjetura completa por Hutchings, Morgan, Ritoré y Ros fue anunciada en 2000 y publicada en 2002. Tras trabajos anteriores sobre el caso cuadridimensional, la generalización completa a dimensiones superiores fue publicada por Reichardt en 2008, y en 2014, Lawlor publicó una demostración alternativa del teorema de la doble burbuja que generaliza tanto a dimensiones superiores como a formas ponderadas de energía superficial. Variaciones del problema que consideran otras medidas del tamaño de la superficie envolvente, como su medida gaussiana, también han sido estudiadas.

Demostración Un lema de Brian White muestra que la doble burbuja de área mínima debe ser una superficie de revolución. Pues, si no lo es, se podría usar un argumento similar al teorema del sándwich de jamón para encontrar dos planos ortogonales que bisectan ambos volúmenes, reemplazar superficies en dos de los cuatro cuadrantes por las reflexiones de las superficies en los otros cuadrantes, y luego suavizar las singularidades en los planos de reflexión, reduciendo el área total.Basado en este lema, Michael Hutchings pudo restringir las posibles formas de dobles burbujas óptimas no estándar a consistir en capas de tubos toroidales.

Además, Hutchings mostró que el número de toroides en una doble burbuja minimizante no estándar se podía acotar mediante una función de los dos volúmenes. En particular, para dos volúmenes iguales, la única posible doble burbuja no estándar consiste en una burbuja central única con un toroide único alrededor de su ecuador. Basado en esta simplificación del problema, Joel Hass y Roger Schlafly pudieron reducir la demostración de este caso de la conjetura de la doble burbuja a un gran análisis de casos computarizado, que tomó 20 minutos en una computadora personal de 1995.La demostración eventual de la conjetura de la doble burbuja completa también usa el método de Hutchings para reducir el problema a un análisis de casos finito, pero evita el uso de cálculos por computadora, y en cambio funciona mostrando que todas las posibles dobles burbujas no estándar son inestables: se pueden perturbar con cantidades arbitrariamente pequeñas para producir otra superficie con menor área. Las perturbaciones necesarias para demostrar este resultado son un conjunto cuidadosamente elegido de rotaciones. Como existe una superficie de área mínima, y ninguna de las otras superficies candidatas tiene área mínima, la superficie de área mínima solo puede ser la doble burbuja estándar.

Problemas relacionados thumb|Forma límite del flujo de acortamiento de curvas para tres regiones, una doble burbuja planar degenerada con dos regiones infinitas

John M. Sullivan ha conjeturado que, para cualquier dimensión , el recinto mínimo de hasta volúmenes (no necesariamente iguales) tiene la forma de una proyección estereográfica de un símplex.En particular, en este caso, todos los límites entre burbujas serían parches de esferas. El caso especial de esta conjetura para tres burbujas en dos dimensiones ha sido demostrado; en este caso, las tres burbujas están formadas por seis arcos circulares y segmentos de línea recta, que se encuentran en el mismo patrón combinatorio que las aristas de un tetraedro. Frank Morgan llamó incluso al caso de tres volúmenes en tres dimensiones «inaccesible», pero en 2022 se anunció una demostración del caso de tres volúmenes en todas las dimensiones, y de resultados parciales adicionales en dimensiones superiores. Experimentos numéricos han mostrado que para seis o más volúmenes en tres dimensiones, algunos de los límites entre burbujas pueden ser no esféricos.

Para un número infinito de áreas iguales en el plano, el conjunto de curvas de longitud mínima que separa estas áreas es el teselado hexagonal, familiar por su uso por las abejas para formar panales, y su optimalidad (la conjetura del panal) fue demostrada por T. C. Hales en 2001.Para el mismo problema en tres dimensiones, la solución óptima no se conoce; Lord Kelvin conjeturó que estaba dada por una estructura combinatorialmente equivalente al panal cúbico bitruncado, pero esta conjetura fue refutada por el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, una partición del espacio en celdas de volumen igual de dos formas diferentes usando una menor cantidad promedio de área superficial por celda.

Los investigadores también han estudiado la dinámica de procesos físicos por los que pares de burbujas coalescen en una doble burbuja.Este tema se relaciona con un tema más general en la geometría diferencial del comportamiento dinámico de curvas y superficies bajo diferentes procesos que las cambian continuamente. Por ejemplo, el flujo de acortamiento de curvas es un proceso en el que las curvas en el plano se mueven a una velocidad proporcional a su curvatura. Para dos regiones infinitas separadas por una línea, con una tercera región finita entre ellas, el flujo de acortamiento de curvas en sus límites (reascalado para preservar el área de la región finita) converge hacia una forma límite en forma de una doble burbuja degenerada: una vesica piscis a lo largo de la línea entre las dos regiones no acotadas.

Referencias

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