La fórmula de interpolación de Brahmagupta es un polinomio de interpolación de segundo orden desarrollado por el matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598–668 EC) a principios del . El par de versículos en sánscrito que describen la fórmula se puede encontrar en la parte suplementaria del Khandakadyaka, una obra de Brahmagupta completada en el 665 d. C. El mismo pareado aparece en el anterior «Dhyana-graha-adhikara» de Brahmagupta, que probablemente fue escrito «a principios del segundo cuarto del siglo VII d. C., si no antes». Brahmagupta fue uno de los primeros en describir y utilizar un método de interpolación usando diferencias de segundo orden. (p.111)
La fórmula de interpolación de Brahmagupta es equivalente a la fórmula de interpolación moderna de Newton-Stirling de segundo orden.
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Los matemáticos anteriores a Brahmagupta utilizaban una fórmula simple para la interpolación lineal. La fórmula de interpolación lineal para calcular es:
donde .
Para el cálculo de , Brahmagupta reemplaza con otra expresión que proporciona valores más precisos y que equivale a utilizar una fórmula de interpolación de segundo orden.
Descripción del procedimiento de Brahmagupta En la terminología de Brahmagupta, la diferencia es la «gatakhanda», que significa «diferencia pasada» o la diferencia que se ha superado; la diferencia es la «bhogyakhanda», que es la «diferencia que aún está por venir». «Vikala» es la cantidad en minutos sexagesimales en que se ha cubierto el intervalo en el punto donde se desea interpolar. En la notación actual, es . La nueva expresión que reemplaza a se llama «sphuta-bhogyakhanda», cuya descripción se encuentra en el siguiente dístico sánscrito (Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8):
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Esto se ha traducido utilizando el comentario de Bhattolpala () de la siguiente manera:
Multiplicar el vikala por la mitad de la diferencia entre el gatakhanda y el bhogyakhanda y dividir el producto entre 900. Sumar el resultado a la mitad de la suma del gatakhanda y el bhogyakhanda si su mitad suma es menor que el bhogyakhanda, restar si es mayor. (El resultado en cada caso es sphuta-bhogyakhanda, la diferencia tabular correcta).
Esta fórmula se concibió originalmente para el cálculo de los valores de la función seno, cuyo intervalo común en la tabla base subyacente era de 900 minutos o 15 grados. Por lo tanto, la referencia a 900 es, de hecho, una referencia al intervalo común .
En notación moderna El método de Brahmagupta para calcular shutabhogyakhanda se puede formular en notación moderna de la siguiente manera:
Este factor de corrección produce el siguiente valor aproximado para una función arbitraria :
Esta es la interpolación de Stirling truncada en las diferencias de segundo orden. Se desconoce cómo Brahmagupta llegó a su fórmula de interpolación. También ideó una fórmula aparte para el caso en el que los valores de la variable independiente no están igualmente espaciados.
Véase también Identidad de Brahmagupta Matriz de Brahmagupta Identidad de Brahmagupta-Fibonacci
Referencias
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