En matemáticas, la fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I es una expresión racional en una variable para el cálculo de valores aproximados de la función trigonométrica seno, descubierta por Bhaskara I (c. 600 - c. 680), un matemático indio del siglo VII. Esta expresión se presenta en su tratado titulado Mahabhaskariya. Se desconoce cómo Bhaskara I llegó a su fórmula de aproximación. Sin embargo, varios historiadores de las matemáticas han propuesto diferentes hipótesis sobre el método que Bhaskara pudo haber utilizado para llegar a su fórmula. La fórmula es elegante y sencilla, y permite calcular valores razonablemente precisos de senos trigonométricos sin utilizar geometría.
Fórmula de aproximación La fórmula se encuentra en los versículos 17-19 del capítulo VII del Mahabhaskariya de Bhaskara I. A continuación se presenta una traducción de los versículos:
(Ahora) expongo brevemente la regla (para hallar el "bhujaphala" y el "kotiphala", etc.) sin utilizar las diferencias de senos Rs, etc. Reste los grados de un "bhuja" (o "koti") a los grados de un semicírculo (es decir, 180 grados). Luego, multiplique el resto por los grados del "bhuja" o "koti" y anote el resultado en dos lugares. En un extremo, resta el resultado de 40500. En el otro extremo, divide el resultado entre un cuarto, multiplicado por el radio epicíclico (anthyaphala). Así se obtiene el radio completo (bahuphala o kotiphala) del sol, la luna o los planetas estelares. De esta forma también se obtienen los senos R directos e inversos.
(La referencia "Diferencias de senos R 225" alude a Tabla de senos de Āryabhaṭa.)
En notación matemática moderna, para un ángulo x en grados, esta fórmula da como resultado:
Formas equivalentes de la fórmula La fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I se puede expresar utilizando un ángulo medido en radianes de la siguiente manera:
Para un entero positivo n, la expresión toma la siguiente forma: (p.60)
La fórmula adquiere una forma aún más simple cuando se expresa en términos del coseno en lugar del seno. Usando la medida en radianes para los ángulos desde hasta y sustituyendo , se obtiene:
Para expresar la fórmula anterior con la constante se puede usar:
Casi todos los astrónomos y matemáticos indios posteriores han proporcionado formas equivalentes de la fórmula de Bhaskara I. Por ejemplo, Brahmagupta (598-668 EC) «Brhma-Sphuta-Siddhanta» (versos 23-24, capítulo XIV) proporciona la fórmula de la siguiente forma:
Asimismo, Bhaskara II (1114-1185 EC) incluyó esta fórmula en su Lilavati (Kshetra-vyavahara, Soka n.º 48) de la siguiente forma:
La aproximación también puede utilizarse para deducir fórmulas para el coseno inverso y el seno inverso:
, y .
, y .
Alternativamente, utilizando valores absolutos y la función signo, cada par de funciones se puede reescribir de la siguiente manera:
Precisión de la fórmula
La fórmula es aplicable para valores de x° en el rango de 0° a 180°, y es notablemente precisa en este rango. Las gráficas de senx y la fórmula de aproximación son visualmente indistinguibles y prácticamente idénticas. Una de las figuras adjuntas muestra la gráfica del error, es decir, la función:
al usar la fórmula. Muestra que el error absoluto máximo al usar la fórmula es de aproximadamente 0,0016. A partir de una gráfica del valor porcentual del error absoluto, se observa claramente que el error relativo máximo es inferior al 1,8%. Por lo tanto, la fórmula de aproximación proporciona valores de seno suficientemente precisos para la mayoría de los fines prácticos. Sin embargo, no fue suficiente para los requisitos de cálculo más precisos de la astronomía. La búsqueda de fórmulas más precisas por parte de los astrónomos indios condujo finalmente al descubrimiento de las expansiones en series de potencias de senx y cosx por Madhava de Sangamagrama (c. 1350-c. 1425), fundador de la Escuela de Kerala.
Deducción de la fórmula Bhaskara no indicó ningún método para llegar a su fórmula. Los historiadores han especulado sobre diversas posibilidades, aunque todavía no se han obtenido respuestas definitivas. Más allá de su importancia histórica como un ejemplo clave de los logros matemáticos de los antiguos astrónomos indios, la fórmula también tiene relevancia desde una perspectiva moderna. Los matemáticos han intentado deducir la regla utilizando conceptos y herramientas modernas. Se han sugerido alrededor de media docena de métodos, cada uno basado en un conjunto diferente de premisas. (p.104) La mayoría de estas derivaciones utilizan únicamente conceptos elementales.
Deducción basada en geometría elemental
Sea la circunferencia de un círculo medida en grados y sea R el radio radio del círculo también medido en grados (desarrollándolo sobre el perímetro de la circunferencia). Eligiendo un diámetro fijo AB y un punto arbitrario P en la circunferencia, y trazando la perpendicular PM a AB, se puede calcular el área del triángulo APB de dos maneras. Igualando las dos expresiones para el área, se obtiene . En consecuencia,
Sea x la longitud del arco AP, la longitud del arco BP es . Estos arcos son mucho mayores que las cuerdas respectivas. Por lo tanto, se obtiene:
Ahora se buscan dos constantes α y ß tales que:
En efecto, no es posible obtener tales constantes. Sin embargo, se pueden elegir valores para α y ß de modo que la expresión anterior sea válida para dos valores elegidos de la longitud de arco x. Eligiendo 30° y 90° como estos valores y resolviendo las ecuaciones resultantes, se obtiene inmediatamente la fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I.
Deducción a partir de una expresión racional general Suponiendo que x está en radianes, se puede buscar una aproximación de senx de la siguiente forma:
Las constantes a, b, c, p, q y r (solo cinco de ellas son independientes) se pueden determinar asumiendo que la fórmula debe ser exactamente válida cuando x = 0, p/6, p/2, p, y asumiendo además que debe satisfacer la propiedad de que sen(x) = sen(p-x). Este procedimiento produce la fórmula para los ángulos expresados en radianes.
Un argumento elemental
La parte de la gráfica de la función senx en el intervalo de 0° a 180° "se parece" a parte de una parábola que pasa por los puntos (0, 0) y (180, 0). La forma general de dicha parábola es:
La parábola que también pasa por (90, 1) (que corresponde al valor sen(90°) = 1) es:
La parábola que también pasa por (30, 1/2) (que corresponde al valor sen(30°) = 1/2) es:
Estas expresiones sugieren un denominador variable que toma el valor 90 × 90 cuando x = 90 y el valor cuando x = 30. El hecho de que esta expresión también deba ser simétrica respecto a la recta x = 90° descarta la posibilidad de elegir una expresión lineal en x. Los cálculos que involucran x(180° - x) podrían sugerir inmediatamente que la expresión podría tener la forma:
Mediante algunos tanteos (o planteando y resolviendo dos ecuaciones lineales en a y b) se obtienen los valores a = 5/4 y b = -1/4. Estos valores dan la fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I.
Karel Stroethoff (2014) ofrece un argumento similar, pero más simple, para la elección de Bhaskara I. También proporciona una aproximación análoga para el coseno y extiende la técnica a polinomios de segundo y tercer orden.
Véase también Tabla de senos de Āryabhaṭa Tabla de senos de Madhava Fórmula de interpolación de Brahmagupta
Referencias
Referencias adicionales R.C..Gupta, On derivation of Bhaskara I's formula for the sine, Ganita Bharati 8 (1–4) (1986), 39–41. T. Hayashi, A note on Bhaskara I's rational approximation to sine, Historia Sci. No. 42 (1991), 45–48. K. Stroethoff, Bhaskara's approximation for the sine, The Mathematics Enthusiast, Vol. 11, No. 3 (2014), 485–492.
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