En matemáticas, una caracterización de un objeto es un conjunto de condiciones que, si bien pueden ser diferentes de la definición del objeto, son lógicamente equivalentes a ella. Decir que "la propiedad P caracteriza al objeto X" significa que X no solo posee la propiedad P, sino que X es el único que posee la propiedad P (es decir, P es una propiedad definitoria de X). De manera similar, se dice que un conjunto de propiedades P caracteriza a X cuando estas propiedades distinguen a X de todos los demás objetos. Aunque una caracterización identifica un objeto de forma única, pueden existir varias caracterizaciones para un mismo objeto. Algunas expresiones matemáticas comunes para una caracterización de X en términos de P incluyen "P es una condición necesaria y suficiente para que se dé X" y "X se cumple si y solo si se da P".
También es común encontrar enunciados como «La propiedad Q caracteriza a Y salvo isomorfismos». El primer tipo de enunciado expresa, con otras palabras, que la extensión de P es un conjunto unitario, mientras que el segundo indica que la extensión de Q es una única clase de equivalencia (en el caso del isomorfismo, en el ejemplo dado; dependiendo de cómo se utilice salvo, podría estar involucrada alguna otra relación de equivalencia).
Una referencia sobre terminología matemática señala que «característico» proviene del término griego «kharax», «estaca puntiaguda»:
Del griego «kharax» deriva «kharakhter», un instrumento utilizado para marcar o grabar un objeto. Una vez marcado un objeto, se volvía distintivo, por lo que el carácter de algo pasó a significar su naturaleza distintiva. El sufijo griego tardío -istikos convirtió el sustantivo carácter en el adjetivo característico, que, además de mantener su significado adjetival, más tarde también se convirtió en sustantivo.Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English, page 43, Mathematical Association of America
Así como en química, una propiedad característica de un material servirá para identificar una muestra, o en el estudio de materiales, estructuras y propiedades determinarán su caracterización, en matemáticas se da una búsqueda continua para expresar propiedades que distingan una característica deseada en una teoría o sistema. La caracterización no es exclusiva de las matemáticas, pero dado que la ciencia es abstracta, gran parte de la actividad puede describirse como "caracterización". Por ejemplo, en Mathematical Reviews, a partir de 2018, más de 24.000 artículos contienen la palabra en el título del artículo, y 93.600 en algún lugar de la revisión.
En un contexto arbitrario de objetos y características, las caracterizaciones se han expresado mediante una relación binaria aRb, lo que significa que el objeto a posee la característica b. Por ejemplo, b puede significar una propiedad abstracta o concreta. Los objetos pueden considerarse la extensión del mundo, mientras que las características son expresiones de intensidad. Un programa continuo de caracterización de diversos objetos conduce a su categorización.
Caracterizaciones en matemáticas superiores Las caracterizaciones son particularmente importantes en matemáticas superiores, donde ocupan un gran volumen de teoría en los cursos típicos de pregrado. Se conocen comúnmente como "condiciones necesarias y suficientes" o "enunciados condicionales". Las caracterizaciones ayudan a presentar objetos complejos de una forma más accesible para su estudio, y muchos tipos de objetos en matemáticas tienen múltiples caracterizaciones. En ocasiones, una caracterización en particular se generaliza más fácilmente a contextos abstractos que las demás, y suele elegirse como «definición» del concepto generalizado.
En análisis real, por ejemplo, la propiedad de completitud de los números reales tiene varias caracterizaciones útiles:Abbott, Stephen. Understanding Analysis. New York, Springer, 2016.
La propiedad del límite superior mínimo La propiedad del límite inferior máximo La propiedad de los intervalos anidados El teorema de Bolzano-Weierstrass La convergencia de la sucesión de Cauchy
Un curso universitario típico de análisis real comenzaría con la primera de estas propiedades, la propiedad del límite superior mínimo, como definición axiomática de los números reales (a veces denominada "axioma de completitud" en los textos), y gradualmente la demostraría hasta llegar a la última: la convergencia de las sucesiones de Cauchy. Las demostraciones son bastante complejas. Entre estas cinco caracterizaciones, la perspectiva de las sucesiones de Cauchy resulta ser la más fácil de generalizar y se elige como la "definición" de la completitud de una propiedad abstracta de un espacio métrico. Sin embargo, la propiedad de cota superior mínima suele ser la más útil para demostrar hechos sobre los números reales en sí mismos, como la propiedad del teorema del valor intermedio. Por lo tanto, las caracterizaciones más útiles y generalizables a veces son diferentes.
Otro ejemplo de este fenómeno se encuentra en física. La mecánica hamiltoniana es una caracterización de la mecánica clásica, equivalente a las leyes de Newton. Sin embargo, es mucho más fácil de generalizar a la mecánica cuántica y a la mecánica estadística, lo que es su principal virtud. No obstante, es una caracterización diferente la mecánica lagrangiana, que suele preferirse para el estudio de la propia mecánica clásica.John Robert Taylor. Classical Mechanics. Sausalito, Calif., University Science Books, Cop, 2005.
Dado que el resultado de una caracterización es equivalente a la definición o axioma(s) inicial(es) del objeto, puede utilizarse como definición equivalente, a partir de la cual se puede demostrar la definición original como un teorema. Esto plantea la cuestión de cuál es la mejor definición en una situación dada, entre las muchas opciones posibles. No existe una respuesta absoluta, pero la elección de la definición por parte de los autores de libros o artículos suele depender de consideraciones estéticas o pedagógicas, así como de la convención, la historia y la tradición. Para los números reales, la propiedad de cota superior mínima puede haberse elegido por ser más fácil de aprender que las sucesiones de Cauchy.
Uno de los resultados más importantes en análisis complejo es un resultado de caracterización: el hecho de que todas las funciones localmente diferenciables en números complejos son analíticas (iguales a sus series de Taylor).Brown, James, and Ruel Churchill. Complex Variables and Applications. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 2009.
Las caracterizaciones son muy comunes en álgebra abstracta, donde a menudo adoptan la forma de «teoremas de estructura», que expresan la estructura de un objeto de forma sencilla. Estos resultados suelen ser muy difíciles de demostrar. En la teoría de matrices, la forma canónica de Jordan es una caracterización, o teorema de estructura, para matrices complejas,Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer Nature, 28 Oct. 2023. y el teorema espectral lo es igualmente para matrices simétricas (si son reales) o matrices hermíticas (si son complejas). Según el teorema espectral, las matrices simétricas reales son precisamente aquellas que tienen una base de autovectores perpendiculares (denominados ejes principales en física). En la teoría de grupos, existe un teorema de estructura para los grupos abelianos finitos que establece que todo grupo de este tipo es un producto directo de grupos cíclicos.David Steven Dummit, and Richard M Foote. Abstract Algebra. Danvers, John Wiley & Sons, 2004.
Como enunciados condicionales, las caracterizaciones son, en cierto sentido, el tipo de teorema matemático más fuerte, lo que concuerda con la dificultad de sus demostraciones. Considérese un teorema matemático genérico que establece que A implica B. Si B no implica A, se puede decir que el teorema es débil, ya que el enunciado B demostrado es más débil que el ingrediente A, al no ser lo suficientemente fuerte como para demostrar A por sí solo. En una caracterización, sin embargo, B debe implicar también A; la afirmación demostrada es tan fuerte como el ingrediente, y no puede ser más fuerte. En cierto sentido, tal resultado «utiliza» toda la estructura de A para demostrar B.
Ejemplos Un número racional, generalmente definido como la razón de dos enteros, puede caracterizarse como un número con representación decimal finita o periódica. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Una de sus características es que sus diagonales se bisecan mutuamente. Esto significa que las diagonales de todos los paralelogramos se bisecan mutuamente y, a la inversa, que cualquier cuadrilátero cuyas diagonales se bisecan mutuamente debe ser un paralelogramo. "Entre las distribuciones de probabilidad definidas en el intervalo de 0 a 8 en la recta real, la ausencia de memoria caracteriza a las distribuciones exponenciales". Esta afirmación significa que las distribuciones exponenciales son las únicas distribuciones de probabilidad sin memoria, siempre que la distribución sea continua como se definió anteriormente (véase caracterización de distribuciones de probabilidad para más información). "Según el teorema de Bohr-Mollerup, entre todas las funciones f tales que f(1) = 1 y x f(x) = f(x + 1) para x'' > 0, la log-convexidad caracteriza a la función gamma. Esto significa que, entre todas estas funciones, la función gamma es la única que presenta convexidad logarítmica.Una función f es log-convexa ai y solo si log(f) es una función convexa. La base del logaritmo no importa, siempre que sea mayor que 1, pero los matemáticos generalmente toman "log" sin subíndice para referirse al logaritmo natural, cuya base ese. El círculo se caracteriza como una variedad por ser unidimensional, compacto y conexo. Aquí, la caracterización, como variedad diferenciable, depende del difeomorfismo.
Véase también Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos Caracterizaciones de la función exponencial Característica (matemática) Logaritmo decimal Teorema de clasificación Característica de Euler Carácter (matemáticas)
Referencias
Categoría:Terminología matemática Categoría:Equivalencia (matemáticas)