En matemáticas, un álgebra cociente es el resultado de aplicar una partición a los elementos de una estructura algebraica usando una relación de congruencia.

Las álgebras cociente también se denominan álgebras factoriales. En este caso, la relación de congruencia debe ser una relación de equivalencia que, además, sea compatible con todas las operaciones del álgebra, en el sentido formal que se describe a continuación.

Sus clases de equivalencia particionan los elementos de la estructura algebraica dada. El álgebra cociente tiene estas clases como elementos, y las condiciones de compatibilidad se utilizan para dotar a las clases de una estructura algebraica.A. G. Kurosh, Lectures on General Algebra, Translated from the Russian edition (Moscow, 1960), Chelsea, New York, 1963.

La idea del álgebra cociente abstrae en una noción común la estructura cociente de los anillos cocientes de la teoría de anillos, los grupos cocientes de la teoría de grupos, los espacios cocientes del álgebra lineal y los módulos cocientes de la teoría de representación en un marco común.

Relación de compatibilidad Sea A el conjunto de los elementos de un álgebra , y sea E una relación de equivalencia en el conjunto A. Se dice que la relación E es compatible con (o posee la propiedad de sustitución con respecto a) una operación f n-aria, si para implica para cualquier con . Una relación de equivalencia compatible con todas las operaciones de un álgebra se denomina congruencia con respecto a esta álgebra.

Álgebras cociente y homomorfismos Cualquier relación de equivalencia E en un conjunto A particiona este conjunto en clases de equivalencia. El conjunto de estas clases de equivalencia se denomina habitualmente conjunto cociente y se denota A/E. Para un álgebra , es sencillo definir las operaciones inducidas sobre los elementos de A/E si E es una congruencia. Específicamente, para cualquier operación de aridad en (donde el superíndice simplemente indica que es una operación en , y el subíndice enumera las funciones en y sus aridades), se define como , donde denota la clase de equivalencia de generada por E ("x módulo E").

Para un álgebra , dada una congruencia E en , el álgebra se denomina álgebra cociente (o álgebra factorial) de módulo E. Existe una relación de homomorfismo natural de a que asigna a cada elemento su clase de equivalencia. De hecho, todo homomorfismo h determina una relación de congruencia mediante la relación del núcleo del homomorfismo, .

Dado un álgebra , un homomorfismo h define dos álgebras homomorfas a : imagen h() y . Estas dos álgebras son isomorfismos, un resultado conocido como el teorema de la imagen homomórfica o como la relación del primer teorema de isomorfismo para el álgebra universal. Formalmente, sea un homomorfismo sobreyectivo. Entonces, existe un isomorfismo único g de sobre tal que g compuesto con el homomorfismo natural inducido por es igual a h.

Retículo de congruencias Para cada álgebra en el conjunto A, la relación de identidad en A y son congruencias triviales. Un álgebra sin otras congruencias se denomina simple.

Sea el conjunto de congruencias en el álgebra . Dado que las congruencias son cerradas bajo la intersección, podemos definir una operación de reunión: simplemente tomando la intersección de las congruencias .

Por otro lado, las congruencias no son cerradas bajo la unión. Sin embargo, se puede definir el clausura de cualquier relación binaria E'', con respecto a un álgebra fija , de modo que sea una congruencia, de la siguiente manera: . Nótese que la clausura de una relación binaria es una congruencia y, por lo tanto, depende de las operaciones en , no solo del conjunto portador. Ahora se define como .

Para cada álgebra , con las dos operaciones definidas anteriormente forma un retículo, llamado la "red de congruencias" de .

Condiciones de Maltsev Si dos congruencias se permutan (conmutan) con la operación composición de relaciones, es decir, , entonces su unión (en el retículo de congruencias) es igual a su composición: . Un álgebra se denomina congruencia permutable si cada par de sus congruencias se permuta; asimismo, se dice que una variedad es permutable por congruencias si todos sus miembros son álgebras permutables por congruencias.

En 1954, Anatoli Máltsev estableció la siguiente caracterización de las variedades permutables por congruencias: una variedad es permutable por congruencias si y solo si existe un término ternario tal que ; este se denomina término de Maltsev y las variedades con esta propiedad se denominan variedades de Maltsev. La caracterización de Maltsev explica un gran número de resultados similares en grupos (por ejemplo, ), anillos, cuasigrupo (por ejemplo, , retículo complementado, álgebra de Heyting, etc.). Además, toda álgebra congruente-permutable es congruente-modular, es decir, su retículo de congruencias también es un retículo modular. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

Tras el resultado de Maltsev, otros investigadores hallaron caracterizaciones basadas en condiciones similares a las de Maltsev, pero para otros tipos de propiedades. En 1967, Bjarni Jónsson halló las condiciones para variedades con retículos de congruencia distributivos (denominadas variedades congruencia-distributivas), mientras que en 1969 Alan Day hizo lo mismo para variedades con retículos de congruencia modulares. Genéricamente, estas condiciones se denominan condiciones de Maltsev.

Esta línea de investigación condujo al algoritmo de Pixley-Wille para generar condiciones de Maltsev asociadas a identidades de congruencia.

Véase también Anillo cociente Problema de retículo de congruencia Retículo de subgrupos

Referencias

Bibliografía

Categoría:Álgebra universal