En el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, especialmente en dinámica de fluidos, una solución autosimilar es un tipo de solución que resulta similar a sí misma si las variables independientes y dependientes se escalan adecuadamente. Las soluciones autosimilares aparecen siempre que el problema carece de una escala de longitud o tiempo característica (por ejemplo, la capa límite de Blasius de una placa infinita, pero no de una placa de longitud finita). Entre ellas se incluyen, por ejemplo, la capa límite de Blasius o la capa de Sedov-Taylor.

Concepto Una herramienta poderosa en física es el concepto de análisis dimensional y las leyes de escala. Al examinar los efectos físicos presentes en un sistema, podemos estimar su magnitud y, por lo tanto, cuáles, por ejemplo, podrían ignorarse. En algunos casos, es posible que el sistema no tenga una longitud natural fija o una escala de tiempo, mientras que la solución depende del espacio o del tiempo. Entonces es necesario construir una escala utilizando el espacio o el tiempo y las otras magnitudes dimensionales presentes, como la viscosidad . Estas construcciones no se «adivinan», sino que se derivan directamente del escalado de las ecuaciones que rigen el sistema.

Clasificación La solución autosimilar normal también se conoce como «solución autosimilar de primer tipo», ya que existe otro tipo de solución autosimilar para problemas de tamaño finito, que no puede derivarse del análisis dimensional, conocida como «solución autosimilar de segundo tipo».

Solución autosimilar de segundo tipo La identificación temprana de soluciones autosimilares de segundo tipo se puede encontrar en problemas de ondas de choque implosivas (problema de Guderley–Landau–Stanyukovich), analizados por G. Guderley (1942) y Lev Landau y K. P. Stanyukovich (1944),Stanyukovich, K. P. (2016). Unsteady motion of continuous media. Elsevier. Página 521 y la propagación de ondas de choque por un impulso breve, analizada por Carl Friedrich von WeizsäckerWeizsäcker, CF (1954). Approximate representation of strong unsteady shock waves through homology solutions. Zeitschrift für Naturforschung A, 9 (4), 269-275. y Yakov Borisovich Zel'dovich (1956), quien también la clasificó por primera vez como del segundo tipo. En 1959, Leonid Ivanovich Sedov publicó un estudio independiente sobre el mismo campo. En 1972, Grigory Barenblatt y Yakov Borisovich Zel'dovich realizaron una descripción completa. La solución autosimilar del segundo tipo también aparece en diferentes contextos, como en problemas de capa límite sometidos a pequeñas perturbaciones, tal y como identificó Keith Stewartson, Paul A. Libby y Herbert Fox. Los remolinos de Moffatt son también una solución autosimilar del segundo tipo. Ejemplos Problema de Rayleigh Un ejemplo sencillo es un dominio semiinfinito delimitado por una pared rígida y lleno de fluido viscoso. En el instante , se hace que la pared se mueva a una velocidad constante en una dirección fija (para mayor claridad, digamos la dirección y consideremos solo el plano ); véase que no hay una escala de longitud distinguida dada en el problema. Esto se conoce como el problema de Rayleigh. Las condiciones de contorno de no deslizamiento son

Además, se impone la condición de que la placa no tenga ningún efecto sobre el fluido en el infinito como

Ahora, a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes

Se puede observar que este flujo será rectilíneo, con gradientes en la dirección y flujo en la dirección , y que el término de presión no tendrá componente tangencial, de modo que . La componente de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte entonces en

y se pueden aplicar los argumentos de escala para demostrar que

lo que da la escala de la coordenada como

Esto permite plantear un modelo autosimilar tal que, siendo y magnitudes adimensionales,

Lo anterior contiene toda la física relevante y el siguiente paso es resolver las ecuaciones, lo que en muchos casos implicará el uso de métodos numéricos. Esta ecuación es

con una solución que satisface las condiciones de contorno siguientes

que es una solución autosimilar de primer tipo.

Aproximación de sólidos semiinfinitos En aplicaciones de transferencia de calor transitoria, como el calentamiento por impacto en la cubierta de un barco durante el lanzamiento de misiles y el dimensionamiento de sistemas de protección térmica, se pueden encontrar soluciones autosimilares para sólidos semiinfinitos. La ecuación que rige cuando la conducción térmica es el mecanismo principal de transferencia de calor es la ecuación de energía unidimensional:donde es la densidad del material, es la capacidad calorífica específica del material, es la conductividad y resistividad térmicas del material. En el caso de que se suponga que el material es homogéneo y sus propiedades constantes, la ecuación de energía se reduce a la ecuación de calor:siendo la difusividad térmica. Al introducir la variable de similitud y suponiendo que , la EDP puede transformarse en la EDE:Si se supone un modelo simple de dimensionamiento del sistema de protección térmica, en el que se ignoran la descomposición, el flujo de gases de pirólisis y la recesión de la superficie, con la temperatura inicial y una temperatura superficial constante , entonces la ecuación diferencial ordinaria (ODE) puede resolverse para la temperatura a una profundidad y un tiempo :donde es la función de error.

Referencias

Categoría:Mecánica de fluidos Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales