En dinámica de fluidos, el flujo de Berman es un flujo estacionario que se produce en el interior de un canal rectangular con dos paredes igualmente porosas, a través del cual se inyecta fluido por un lado y se extrae por el otro a una velocidad constante y uniforme. El concepto recibe su nombre del científico Abraham S. Berman, quien formuló el problema en 1953.Berman, Abraham S. «Laminar flow in channels with porous walls». Journal of Applied physics 24.9 (1953): 1232–1235.

Descripción del flujo Consideremos un canal rectangular cuya anchura sea mucho mayor que su altura. Supongamos que la distancia entre la pared superior y la inferior es y elijamos las coordenadas de tal manera que se encuentre en el punto medio entre las dos paredes, con los vectores perpendiculares a los planos. Supongamos que ambas paredes son porosas y tienen la misma velocidad . Entonces, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos incompresibles se convierten enDrazin, P. G., & Riley, N. (2006). Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas (N.º 334). Cambridge University Press.

con condiciones de contorno

Las condiciones de contorno en el centro se deben a la simetría. Dado que la solución es simétrica por encima del plano , basta con describir solo la mitad del flujo, por ejemplo, para . Si buscamos una solución para que sea independiente de , la ecuación de continuidad dicta que la velocidad horizontal puede ser, como mucho, una función lineal de .Proudman, I. (1960). Un ejemplo de flujo laminar estacionario con un número de Reynolds elevado. Journal of Fluid Mechanics, 9(4), 593-602. Por lo tanto, Berman introdujo la siguiente forma,

donde es el valor medio (promediado transversalmente) de en , es decir

Esta constante se eliminará del problema y no influirá en la solución. Al sustituir esto en la ecuación del momento se obtiene

Al derivar la segunda ecuación con respecto a , se obtiene . Esto se puede sustituir en la primera ecuación tras derivarla con respecto a , lo que da como resultado

donde es el número de Reynolds. Integrando una vez, obtenemos

con las condiciones de contorno

Esta ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden requiere tres condiciones de contorno, y la cuarta condición de contorno consiste en determinar la constante . Se ha comprobado que esta ecuación posee múltiples soluciones.Wang, C-A., T-W. Hwang y Y-Y. Chen. «Existence of solutions for Berman’s equation from Laminar flows in a porous channel with suction». Computers & Mathematics with Applications 20.2 (1990): 35–40.Hwang, Tzy-Wei y Ching-An Wang. «On multiple solutions for Berman’s problem». «Actas de la Real Sociedad de Edimburgo: Sección A Matemáticas» 121.3-4 (1992): 219–230. La figura muestra la solución numérica para un número de Reynolds bajo; resolver la ecuación para un número de Reynolds alto no es un cálculo trivial. Soluciones límite En el límite , la solución puede expresarse como

En el límite , la solución de primer orden viene dada porMorduchow, M. (1957). Sobre el flujo laminar a través de un canal o tubo con inyección: aplicación del método de medias. Quarterly of Applied Mathematics, 14(4), 361-368.

La solución anterior satisface todas las condiciones de contorno necesarias, aunque el número de Reynolds sea infinito (véase también flujo de Taylor-Culick) Caso axisimétrico El problema correspondiente en los flujos por tuberías porosas fue abordado por S. W. Yuan y A. Finkelstein en 1955.Yuan, S. W., Finkelstein, A. (1955). Flujo laminar en tuberías con inyección y succión a través de una pared porosa. CENTRO DE INVESTIGACIÓN JAMES FORRESTAL DE LA UNIVERSIDAD DE PRINCETON, NUEVA JERSEY. Véase también Flujo de Taylor-Culick

Referencias

Categoría:Regímenes de flujo Categoría:Dinámica de fluidos