En geometría, la fórmula de Murakami-Yano, introducida por , permite calcular el volumen de un tetraedro definido en el espacio hiperbólico o en el espacio esférico, a partir del valor de sus seis ángulos diedros.
Expresión matemática Sea un tetraedro hiperbólico compacto, con ángulos diedros , ordenados de manera que rodean a un vértice, y son los ángulos respectivamente opuestos a . Entonces, el volumen del tetraedro hiperbólico , se puede obtener mediante la fórmula:
donde y son los límites de la integral, dados por:
siendo
y
Observación 1: las sumas ; ; ; en el numerador y ; ; en el denominador tienen una interpretación geométrica sencilla: los primeros términos son las sumas de los ángulos diedros en los vértices de , y los segundos son las sumas de los ángulos a lo largo de los ciclos hamiltonianos de .
Observación 2: los límites y de la integral satisfacen la ecuación , y , donde es la matriz de Gram de . Los valores de y son los parámetros de la partición de un octaedro ideal en cuatro tetraedros ideales con una arista en común. El octaedro está canónicamente determinado por , y sus ángulos diedros son combinaciones lineales de los de .
Referencias
Bibliografía url=http://www.f.waseda.jp/murakami/papers/tetrahedronrev4.pdf
Categoría:Teoremas de geometría