En geometría diferencial, el teorema de las tres geodésicas, también conocido como teorema de Lyusternik-Schnirelmann, establece que toda variedad de Riemann con la topología de una esfera tiene al menos tres geodésicas cerradas simples (es decir, tres círculos geodésicos incrustados).. El resultado también puede extenderse a cuasigeodésicas en un poliedro convexo y a geodésicas cerradas de 2-esferas reversibles de Finsler. El teorema es preciso: aunque toda 2-esfera riemanniana contiene infinitas geodésicas cerradas distintas, solo tres de ellas tienen garantizada la ausencia de autointersecciones. Por ejemplo, según un resultado de Morse, si las longitudes de los tres ejes principales de un elipsoide son distintas, pero suficientemente cercanas entre sí, entonces el elipsoide tiene solo tres geodésicas cerradas simples.Ballmann, W.: On the lengths of closed geodesics on convex surfaces. Invent. Math. 71, 593–597 (1983)

Historia y demostración

Una línea geodésica, en una superficie riemanniana, es una curva localmente recta en cada uno de sus puntos. En el plano, las geodésicas son rectas, y en una esfera, las geodésicas son círculos máximos. El camino más corto en la superficie entre dos puntos es siempre una geodésica, pero también pueden existir otras geodésicas. Se dice que una geodésica es una geodésica cerrada si regresa a su punto de partida y dirección inicial. Al hacerlo, puede cruzarse a sí misma varias veces. El teorema de las tres geodésicas establece que para superficies homeomorfas con la esfera, existen al menos tres geodésicas cerradas que no se cruzan a sí mismas. Esto implica que puede haber más de tres, como en el caso de una esfera, que tiene infinitas.

Este resultado proviene de las matemáticas de la navegación oceánica, donde la superficie terrestre puede modelarse con precisión mediante un elipsoide, y del estudio de las geodésicas sobre un elipsoide, obtener las rutas más cortas para que los barcos viajen. En particular, un elipsoide triaxial casi esférico tiene solo tres geodésicas cerradas simples: sus ecuadores.. En 1905, Henri Poincaré conjeturó que toda superficie lisa topológicamente equivalente a una esfera contiene igualmente al menos tres geodésicas cerradas simples, y en 1929 Lazar Lyusternik y Lev Schnirelmann publicaron una demostración de la conjetura. Aunque el argumento topológico general de la demostración era correcto, empleaba un resultado de deformación que posteriormente se demostró que era erróneo.. Varios autores propusieron soluciones insatisfactorias para solucionar este resultado incompleto. Una solución universalmente aceptada fue proporcionada en la década de 1980 por Grayson, siguiendo una sugerencia de Karen Uhlenbeck, por medio del flujo de acortamiento de una curva..

Generalizaciones Una versión reforzada del teorema establece que, en cualquier superficie riemanniana topológicamente equivalente a una esfera, existen necesariamente tres geodésicas cerradas simples cuya longitud es, como máximo, proporcional al diámetro de la superficie..

El número de geodésicas cerradas de longitud como máximo L en una esfera topológica lisa crece proporcionalmente a (L/log L), pero no se puede garantizar que todas estas geodésicas sean simples..

En los sistemas compactos de superficies de Riemann hiperbólicas, existen infinitas geodésicas cerradas simples, pero solo un número finito de geodésicas con una longitud límite dada. Estas se codifican analíticamente mediante la función zeta de Selberg. La tasa de crecimiento del número de geodésicas cerradas simples, en función de su longitud, fue investigada por Maryam Mirzajani.,

La existencia de tres geodésicas cerradas simples también se cumple para cualquier métrica de Finsler reversible en la 2-esfera..

Métricas no lisas

También es posible definir geodésicas en algunas superficies que no son completamente lisas, como poliedros convexos. La superficie de un poliedro convexo tiene una métrica localmente euclidiana, excepto en sus vértices. Una curva que evita los vértices es una geodésica si sigue segmentos de línea recta dentro de cada cara del poliedro y se mantiene recta al cruzar cada arista. Aunque algunos poliedros tienen geodésicas cerradas simples (por ejemplo, el tetraedro regular y los disfenoides tienen infinitas geodésicas cerradas, todas simples),(Enlace doi roto: 30 de enero de 2026).. otros no. En particular, una geodésica cerrada simple de un poliedro convexo necesariamente bisecaría el total del defecto angular de los vértices, y casi todos los poliedros no tienen tales bisectrices.

Sin embargo, el teorema de las tres geodésicas puede extenderse a poliedros convexos considerando las cuasigeodésicas, curvas que son geodésicas excepto en los vértices del poliedro y que tienen ángulos menores que en ambos lados en cada vértice que cruzan. Una versión del teorema de las tres geodésicas para poliedros convexos establece que todos los poliedros tienen al menos tres cuasigeodésicas cerradas simples. Esto puede demostrarse aproximando el poliedro mediante una superficie lisa y aplicando el teorema de las tres geodésicas a dicha superficie.. Es una problema no resuelto si alguna de estas cuasigeodésicas puede construirse en complejidad temporal...

Referencias

Three geodesics Categoría:Geodésicas (matemáticas)