En geometría diferencial, el problema de Minkowski, llamado así en honor a Hermann Minkowski, atañe a la existencia de una hipersuperficie compacta estrictamente convexa S cuya curvatura gaussiana esté prescrita por una función positiva en la esfera. Más precisamente, la entrada al problema es una función real prescrita de clase infinito, estrictamente positiva ƒ . La variedad buscada debe tener curvatura gaussiana ƒ ( n ( x )) en el punto de la esfera x, donde n ( x ) denota la normal unitaria a S en x . Eugenio Calabi afirmó: "Desde el punto de vista geométrico, [el problema de Minkowski] es la Piedra Rosetta, a partir de la cual se pueden resolver varios problemas relacionados." .
En toda generalidad, el problema de Minkowski pide condiciones necesarias y suficientes sobre una medida de Borel no negativa en la esfera unitaria S n-1 para que sea la medida del área superficial de un cuerpo convexo en . Aquí, la medida del área superficial S K de un cuerpo convexo K es el pushforward de la medida de Hausdorff (n-1) dimensional restringida al borde topológico de K mediante la aplicación de Gauss . El problema de Minkowski fue resuelto por Hermann Minkowski, Aleksandr Danilovich Aleksandrov, Werner Fenchel y Børge Jessen: una medida de Borel μ en la esfera unitaria es la medida del área superficial de un cuerpo convexo si y solo si μ tiene su centroide en el origen y no está concentrada en una subesfera maximal.
A pesar de su claro origen geométrico, el problema de Minkowski, aparece en muchas otras áreas y disciplinas científicas. Como ejemplo, el problema de la radiolocalización se reduce fácilmente al problema de Minkowski en el espacio euclidiano tridimensional. El problema inverso de la difracción de onda corta, también se reduce al problema de Minkowski. Además, el problema de Minkowski es la base de la teoría matemática de la difracción, así como de la teoría física de la difracción.
En 1953, Louis Nirenberg publicó las soluciones de dos problemas abiertos desde hacía décadas: el problema de Weyl y el problema de Minkowski en el espacio euclidiano tridimensional. La solución de L. Nirenberg al problema de Minkowski supuso un hito en la geometría diferencial global. Fue seleccionado como el primer galardonado de la Medalla Chern (en 2010) por su papel en la formulación de la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales elípticas no lineales, en particular por resolver los problemas ya mencionados: el de Weyl y el problema de Minkowski en el espacio euclidiano tridimensional.
Pogorelov resolvió el problema de Weyl en variedades riemannianas en 1969.
En un brillante artículo publicado en 1976, el trabajo conjunto del archiconocido geómetra diferencial Shing-Tung Yau con Shiu-Yuen Cheng, alumno de Chern, proporcionó por fin una demostración completa del problema de Minkowski de dimensiones superiores en espacios euclidianos. La demostración de Yau y Cheng emplea el método de continuidad: los razonamientos geométricos, apoyados por la potencia de la teoría elíptica, producen una camino homotópico desde la esfera hasta la solución del problema.
Shing-Tung Yau recibió la Medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos de Varsovia en 1982 por su trabajo en geometría diferencial global y ecuaciones diferenciales parciales elípticas, en particular por resolver problemas tan difíciles como la conjetura de Calabi de 1954 y un problema de Hermann Minkowski en espacios euclidianos relativo al problema de Dirichlet para la ecuación real de Monge-Ampère.
En geometría diferencial, existen diversos problemas relacionados con este que siguen abiertos. Uno de los más importantes es el problema de Christoffel-Minkowski, donde se sustituye al determinante de las curvaturas principales por un polinomio elemental simétrico de grado k, actuando sobre los radios de curvatura principales de la variedad. Actualmente se conocen condiciones suficientes para la existencia de solución, aunque se desconoce si son también necesarias. También hay otro tipo de generalizaciones a variedades con borde o en otros espacios ambiente, desarrolladas recientemente en el caso capilar.
Referencias
Categoría:Teoremas epónimos de geometría Categoría:Teoremas de geometría diferencial Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales Categoría:Hermann Minkowski