En matemáticas, la transformada de Laplace es una potente transformada integral que se utiliza para cambiar una función del dominio del tiempo al dominio s. La transformada de Laplace se puede utilizar en algunos casos para resolver ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales dadas.
Enfoque Consideremos primero la siguiente propiedad de la transformada de Laplace:
Se puede demostrar por inducción que
Ahora consideramos la siguiente ecuación diferencial:
con las condiciones iniciales dadas
Utilizando la linealidad de la transformada de Laplace, es equivalente reescribir la ecuación como
obteniendo
Resolviendo la ecuación para y sustituyendo por , se obtiene
La solución para «f»(«t») se obtiene aplicando la transformada inversa de Laplace a
Tenga en cuenta que si las condiciones iniciales son todas cero, es decir
entonces la fórmula se simplifica a
Un ejemplo Queremos resolver
con condiciones iniciales ”'f'“(0) = 0 y ”'f′“”(0)=0.
Observamos que
y obtenemos
La ecuación es entonces equivalente a
Deducimos
Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace para obtener
Bibliografía A. D. Polyanin, “'Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists”', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.
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