Los números hiperreales son una extensión del conjunto de los números reales que permiten entre otros formalizar algunas operaciones con infinitésimos, y probar algunos resultados clásicos del análisis real de manera más sencilla.
El sistema de números hiperreales es una manera de tratar cantidades infinitas e infinitesimales. Los hiperreales o reales no estándar, , son una extensión de los números reales que contienen números mayores que
Tal número es infinito, y su recíproco infinitesimal. El término "hiper-real" fue presentado por Edwin Hewitt en 1948.Hewitt (1948), p. 74, referido por Keisler (1994)
Como estructura algebraica son un cuerpo no arquimediano y métricamente incompleto que contiene al conjunto arquimediano y completo identificable con los números reales. Formalmente pueden construirse de manera totalmente rigurosa a partir de una axiomatización de primer orden de los números reales. Dicha axiomatización es una teoría no categórica y por tanto admite varios modelos no isomorfos, uno de ellos los números reales estándar y otro de ellos identificable con los hiperreales. Además si se pretende evitar la teoría de modelos puede ampliarse la teoría de los números reales mediante un predicado abstracto (semánticamente interpretable como "x es un número real estándar") y tres axiomas adicionales que describen dicho predicado (estos predicados permiten caracterizar la diferencia entre un número real estándar y uno hiperreal no convencional).
Historia El concepto de número hiperreal proviene del análisis no estándar, dominio que fue desarrollado en los años 1970 por Abraham Robinson, aunque tiene antecedentes en los trabajos de Wilhelmus Luxemburg en los años 1960 y Edwin Hewitt (1948). El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infinitesimales. El conjunto de los reales más estos nuevos elementos se denominan números hiperreales y se designan por , cumpliéndose que . De alguna manera, los antiguos matemáticos griegos emplearon una aproximación intuitiva a los números hiperreales, aunque de un modo totalmente intuitivo y no riguroso. Para estos matemáticos, una longitud a era infinitesimal comparada con b si multiplicándola por cualquier entero nunca se lograría superar a b: 2a, 3a, 4a... 1000a...n·a... son todos inferiores a b (con n un entero cualquiera). Esta definición es la negación misma de la propiedad fundamental que dice que el conjunto de los números reales es arquimediano.
Entre el renacimiento y el se volvió a utilizar los infinitesimales y Gottfried Leibniz propuso una teoría, construida a partir de un número infinito «mayor que todos los enteros existentes». Esta teoría no tenía fundamentos lógicos sólidos, pero permitía hacer los cálculos que necesitaban los físicos, sobre todo en las ecuaciones diferenciales. El análisis no estándar formaliza las nociones de la aritmética de infinitesimales e infinitos de Leibniz como números hiperreales no estándar. Además de infinitesimales e ilimitados (infinitos), se definen los limitados (complemento del conjunto anterior) y apreciables (ni infinitésimos, ni ilimitados). A partir de estos cuatro conjuntos se tienen las siguientes reglas de Leibniz para las operaciones aritméticas de estos conjuntos: {|class=wikitable style="text-align:center;" |- ! +/- !! infinitesimal !! limitado !! apreciable !! ilimitado |- ! infinitesimal | infinitesimal || limitado || apreciable || ilimitado |- ! limitado | limitado || limitado || limitado || ilimitado |- ! apreciable | apreciable || limitado || limitado || ilimitado |- ! ilimitado | ilimitado || ilimitado || ilimitado || ? |} Para la multiplicación las reglas de Leibniz son las siguientes: {|class=wikitable style="text-align:center;" |- ! x !! infinitesimal !! limitado !! apreciable !! ilimitado |- ! infinitesimal | infinitesimal || infinitesimal || infinitesimal || ? |- ! limitado | infinitesimal || limitado || limitado || ? |- ! apreciable | infinitesimal || limitado || apreciable || ilimitado |- ! ilimitado | ? || ? || ilimitado || ilimitado |} Estas reglas heurísticas se siguieron empleando hasta bien entrado el , cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que las hizo inútiles. Cauchy, Dedekind, Cantor, Weierstrass, Bolzano y Heine entre otros matemáticos se habían ocupado de precisar de una manera totalmente rigurosa los conceptos de continuidad y límite. Estos matemáticos desarrollaron un formalismo riguroso que permitía eliminar numerosas aporías y paradojas del análisis (ver por ejemplo 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·). El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo y libre de contradicciones. Se soñó en los siglos y con inventar unas matemáticas que darían cabida a los añorados números infinitos (grandes o pequeños).
La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Naturalmente, nunca se logró, porque no era el método adecuado.
Construcción Existen tres maneras concebibles de llegar a construir un conjunto como el de los números hiperreales: La construcción directa añadiendo un número de números hiperreales a los reales y postulando reglas ad hoc específicas para las operaciones aritméticas (históricamente este es la vía por la que se introdujeron los infinitésimos). Los infinitésimos serían números más pequeños que cualquier número real convencional, y sus respectivos inversos corresponderían a números "infinitos" o "no acotados"). Como extensión de la teoría de los reales, este enfoque el que posiblemente permite manejar más fácilmente los números hiperreales y demostrar resultados consiste en introducir un nuevo predicado y tres axiomas nuevos llamados de "principio de transferencia", "principio de idealización" y "principio de estandarización". Como modelo no estándar de la teoría de los números reales.
Representación intuitiva El modelo de construcción directa es el menos formal de los procedimientos de construcción, y por tanto formalmente es el más endeble. Sin embargo, muchas de las intuiciones que llevaron a las otras construcciones formales partieron de generalizar las propiedades posibles de los infinitesimales. La representación intuitiva de esta sección ilustra las propiedades de los sistemas formalmente constructibles por otros métodos y a los que se podrían llegar generalizando la adición directa.
En la figura siguiente se ha representado la recta de los hiperreales a tres escalas distintas: ω es un número infinito cualquiera (como los que puede demostrarse que existen en un modelo no estándar de la teoría de los reales) y ε es un infinitesimal, también cualquiera. Ambos son positivos. Para pasar de una línea a la siguiente agrandamos la escala de un factor infinito. En la primera línea, los números finitos no se pueden distinguir porque están todos infinitamente próximos al cero, como pegados. En la segunda son los infinitesimales que no se pueden vislumbrar, y los infinitos están lógicamente a una distancia infinita del cero.
Archivo:Números hiperreales.png
Los infinitos de esta teoría no son los introducidos por Georg Cantor en el contexto de los ordinales y cardinales, aunque se puede encontrar un análogo de estos dentro de los hiperreales. Sin embargo, la noción de número infinito para ordinales solo se interesa en los números enteros, mientras que el análisis no estándar se ocupa de los reales. Por ejemplo, si designa el primer infinito numerable, entonces o carecen de sentido para la teoría de ordinales, mas no cuando se tratan de hiperreales.
Construcción directa Los números hiperreales pueden ser concebidos como un conjunto infinito y estratificado de copias de un conjunto de los números hiperreales limitados . Nótese que este conjunto contiene a todos los números reales ordinarios además de sus respectivos "halos" (ver más adelante). El halo o mónada de un número real x es un conjunto de números hiperreales infinitesimalmente cercanos a x:
La noción de infinitesimal puede definirse rigurosamente en el lenguaje de la teoría de los números reales extendidas con el predicado "estándar" (ver más adelante). De hecho todos los números infinitesimales resultan ser todos los números hiperreales no nulos que configuran la mónada del número real 0:
El conjunto de los números reales junto con sus mónadas satisface la relación:
Para cualquier número infinitesimal defínase el número hiperreal no limitado , y una "copia trasladada" de :
Finalmente el conjunto de los hiperreales puede concebirse como el conjunto reunión de todas las copias trasladadas con la anterior:
Extensión a partir de la teoría de los reales Otra posibilidad lógica ofrecida por la lógica matemática. Los números reales convencionales son una realización posible de la llamada teoría de primer orden de los números reales. Dicha teoría consiste en un conjunto de axiomas expresables en un lenguaje formal de primer orden. Los números reales usados comúnmente en la resolución de problemas de análisis matemáticos satisfacen dichos axiomas, así como todos los teoremas lógicamente deducibles a partir de dichos teoremas mediante las reglas de deducción de dicho lenguaje formal. Si se modifican ligeramente los axiomas o se introducen algunos símbolos nuevos en el alfabeto básico del lenguaje formal original puede obtenerse un modelo que incluya números con las propiedades tradicionalmente atribuibles a los números infinitesimales.
Para construir el sistema de los números los hiperreales según este enfoque, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico-formal que sirve de fundamento para esa construcción (es decir, los axiomas que el modelo buscado debe satisfacer). Esto puede hacerse a partir de una formalización axiomática la teoría de los conjuntos numéricos como la que puede obtenerse a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. A partir de dicha teoría puede usarse el teorema de compacidad de la lógica de primer orden para obtener un modelo con las propiedades deseadas. Ese modelo permitía además añadir a los viejos axiomas nuevos axiomas a la teoría consistentes con los anteriores. Concretamente, A. Robinson inventó un nuevo predicado unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es, en relación con esto, es muy importante la siguiente distinción entre propiedad interna y externa: Una propiedad o proposición es interna si se puede expresar en la teoría de Zermelo-Fraenkel, es decir si no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Se emplea también la palabra estándar para cualificar a una fórmula interna lo que puede provocar confusión: una fórmula es estándar si no contiene la palabra estándar...Una fórmula es externa cuando no se puede escribir sin emplear la palabra estándar o una de sus derivadas. Luego se impuso tres condiciones a este predicado (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estándares, con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos, más concretamente se formuló la propiedad de transferencia. Axiomas de transferencia e idealización Esta propiedad de transferencia es la siguiente: Si para cualquier x estándar, P (x) es cierto (P es una proposición interna) entonces P (x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):