En matemáticas, el test de divergencia del término n-ésimo o test del términoKaczor p.336 es un test simple para evaluar la divergencia de una serie infinita:
Si , entonces diverge.
Este test por lo general no posee nombre específico que lo identifique.Por ejemplo, Rudin (p.60) lo cita en su forma contrapositiva sin darle un nombre. Brabenec (p.156) solo lo denomina test del término n-ésimo. Stewart (p.709) lo denomina Test de la divergencia.
Uso A diferencia de los criterios de convergencia más potentes, el test del término no puede demostrar por sí solo que una serie converge. En particular, la inversa del test no es verdadera; todo lo que es posible afirmar es que: Si entonces puede ser o no convergente.
La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos tienden a cero.Rudin p.60 La serie del tipo p,
ejemplifica los posibles resultados del test: Si p ≤ 0, entonces el test del término indica que la serie es divergente. Si 0 < p ≤ 1, los resultados del test del término no son concluyentes, pero la serie es divergente por el test integral de convergencia. Si 1 < p, los resultados del test del término no son concluyentes, pero la serie es convergente, por el test integral de convergencia.
Demostración El test por lo general se demuestra en su forma contrapositiva: Si converge, entonces
Manipulación del límite Si sn son las sumas parciales de la serie, entonces la suposición de que la serie converge implica que
para algún número s. EntoncesBrabenec p.156; Stewart p.709
Criterio de Cauchy La suposición que la serie es convergente significa que satisface el test de convergencia de Cauchy: para cada existe un número N tal que
es válido para todo n > N y p ≥ 1. Haciendo p = 1 se obtiene la definición inicialRudin (pp.59-60) utiliza esta idea de demostración, comenzando con una expresión diferente del criterio de Cauchy.
Alcance La versión más simple del test del término es aplicable a las series infinitas de números reales. Las dos demostraciones indicadas previamente, al basarse en el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, son por lo tanto válidas también en todo espacio vectorial normado.Hansen p.55; Șuhubi p.375
Notas
Referencias
Categoría:Cálculo Categoría:Criterios de convergencia Categoría:Series matemáticas