En física matemática y geometría diferencial, las ecuaciones de Euler-Arnold son una clase de ecuaciones diferenciales parciales (PDP) que describen el flujo geodésico en grupos de Lie de dimensión infinita equipados con métricas invariantes a la derecha. Estas ecuaciones generalizan los sistemas mecánicos clásicos, como el movimiento de cuerpos rígidos y el flujo de fluidos ideales (ecuación de Euler), interpretando su evolución como un flujo geodésico en un grupo de transformaciones. Introducida por Vladimir Arnold en 1966, esta perspectiva unifica diversas EDP que surgen en la dinámica de fluidos, la elasticidad y otras áreas, en un marco geométrico común.Preston, Stephen C. y Pearce Washabaugh. «Ecuaciones de Euler-Arnold y teoría de Teichmüller». “'Differential Geometry and its Applications”' 59 (2018): 1-11.Flory, Mario, y Michal P. Heller. «Complejidad de la teoría de campos conformes a partir de las ecuaciones de Euler-Arnold». Journal of High Energy Physics 2020.12 (2020): 1-44.Modin, Klas, et al. «Sobre las ecuaciones de Euler-Arnold y los subgrupos totalmente geodésicos». Journal of Geometry and Physics 61.8 (2011): 1446-1461. En hidrodinámica, sirven para describir el movimiento de inviscos, fluidos incompresibles.Anton Izosimov y Boris Khesin, «Geometry of generalized fluid flows»: https://arxiv.org/pdf/2206.01434Alexander Schmeding (2022). Teoría de Euler-Arnold: Ecuaciones diferenciales parciales a través de la geometría, capítulo del libro «An Introduction to Infinite-Dimensional Differential Geometry». DOI: https://doi.org/10.1017/9781009091251.008 Un gran número de resultados relacionados con esto se incluyen en lo que ahora se denomina «teoría de Euler-Arnold», cuya idea principal es interpretar geométricamente las ODE en variedades de dimensión infinita como EDP (y viceversa).https://www.cambridge.org/core/books/an-introduction-to-infinitedimensional-differential-geometry/eulerarnold-theory-pdes-via-geometry/5E7D00741CCDB62F26A0E0F9080F1FB9 https://doi.org/10.1017/9781009091251.008

Muchas ecuaciones diferenciales parciales de la dinámica de fluidos son solo casos especiales de la ecuación de Euler-Arnold cuando se observan desde grupos de Lie adecuados: ecuación de Burgers, ecuación de Korteweg-de Vries, ecuación de Camassa-Holm, ecuación de Hunter-Saxton y muchas más.Jae Min Lee (2018), p. 3 Contexto En 1966, Arnold publicó el artículo «» («Sobre la geometría diferencial de los grupos de Lie de dimensión infinita y sus aplicaciones a la hidrodinámica de los fluidos perfectos), en el que presentó una interpretación geométrica común tanto para las ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos en rotación y las ecuaciones de Euler de la dinámica de fluidos, lo que vinculó eficazmente temas que antes se consideraban inconexos y permitió encontrar soluciones matemáticas a muchas cuestiones relacionadas con los flujos de fluidos y su turbulencia.Boletín de noticias de la IAMP, julio de 2010, pp. 25-26

Detalles matemáticos y ejemplos básicos Sea un grupo de Lie con álgebra de Lie . En el caso más básico , el grupo de rotación (tridimensional), y el álgebra de Lie es el espacio euclídeo tridimensional equipado con el producto cruzado. El tensor de inercia es un operador lineal definido positivo (simétrico) . Entonces, el hamiltoniano es

donde es el momento angular. La idea de Arnold es interpretar este hamiltoniano como un hamiltoniano geodésico de una métrica riemanniana (invariante a la derecha) en el grupo. En el caso del grupo de rotación, estas ecuaciones geodésicas conducen a la ecuación de rotación de Euler (libre) de la cinemática del sólido rígido.

Para ver cómo esto conduce a las ecuaciones cinemáticas, trabajamos en el haz cotangente de . Esto se trivializa como La configuración del cuerpo es una curva en el grupo. La velocidad angular del cuerpo se define por

Sea la forma de Maurer-Cartan. La forma canónica es

de la que obtenemos la forma simpléctica tomando la derivada exterior

mediante la ecuación de Maurer-Cartan.

El diferencial del hamiltoniano es

Ahora consideramos la ecuación de Hamilton para el campo vectorial Tenemos

De este modo obtenemos and

Para expresarlo en términos más normales en el caso especial en el que y

tenemos , y por lo tanto, como consecuencia de la identidad del producto triple

. La ecuación queda así:

reconocible como la ecuación de Euler de la mecánica de cuerpos rígidos.

Invarianza a la derecha La invarianza a la derecha de la métrica se debe a que expresa la cinemática del cuerpo en el sistema de referencia (intrínseco) del cuerpo, en convenciones en las que la acción derecha del grupo actúa sobre el haz de referencias, mientras que la acción izquierda correspondería a la transformación del sistema de referencia espacial de un observador externo. Caso general La sección anterior se ha mantenido bastante abstracta, por lo que puede generalizarse a un grupo de Lie arbitrario (de dimensión finita). Este grupo está equipado con un operador de inercia que es definido positivo y simétrico. La ecuación de Euler-Arnold es la ecuación geodésica para la métrica riemanniana Exactamente como arriba, la ecuación se lee

donde

Una idea clave es que esta ecuación sigue teniendo sentido «formalmente» cuando el grupo es un grupo de Lie de dimensión infinita, pero realizar un análisis adecuado en ese caso es muy sutil.

En ocasiones, resulta útil reformular la ecuación de Arnold utilizando directamente una métrica riemanniana en lugar de un operador de inercia. Para ello, sea

donde el emparejamiento de la derecha es entre el álgebra de Lie y su dual. La acción coadjungida se sustituye entonces por un operador definido por

Así, Con estas convenciones establecidas, la ecuación de Arnold toma la forma simple

aunque la conexión con las ecuaciones cinemáticas familiares es menos clara en el ejemplo básico dado anteriormente. Flujos de fluidos incompresibles Cuando el grupo de Lie es el grupo de difeomorfismos suaves que conservan el volumen de un variedad riemanniana orientada compacta con frontera, se obtiene, al menos formalmente, la ecuación de Euler de la dinámica de fluidos. El álgebra de Lie del grupo son (formalmente) todos los campos vectoriales suaves sin divergencia (tangentes a la frontera de ). El Corchete de Lie (campos de vectores) define la estructura del álgebra de Lie. La métrica riemanniana es

donde, a la derecha, tenemos la métrica riemanniana de y su forma de volumen.

Para la ecuación de Arnold, debemos calcular el operador . Utilizando el hecho de que los campos vectoriales son libres de divergencia, se obtiene

por lo tanto

donde se inserta el término de presión porque el campo vectorial resultante debe ser libre de divergencia, y no lo es, en general. Podemos escribir esto de forma invariante como

donde es la proyección de Leray.

Entonces tenemos precisamente las ecuaciones de Euler de la dinámica de fluidos

Ecuación de Korteweg-de Vries Sea el grupo de Virasoro, con el álgebra de Lie de Virasoro representada por pares donde es una función suave en el círculo, y el corchete de Lie

La métrica invariante por la derecha es

Calculamos el operador

Por lo tanto, y obtenemos la ecuación KdV

Cuando , y por lo tanto con la métrica dada aquí en el grupo de difeomorfismos del círculo, sin la extensión central, obtenemos la ecuación inviscida de Burgers. Por otro lado, con la métrica de Sobolev en el grupo de difeomorfismos, obtenemos la ecuación de Camassa-Holm no dispersiva (derivada de esta manera aquí. La ecuación dispersiva de Camassa-Holm surge de la métrica de Sobolev en el grupo de Virasoro. Fundamentos analíticos Ebin y Marsden (1970) proporcionaron una formulación rigurosa del marco de Euler-Arnold. Demostraron que el grupo de difeomorfismos que conservan el volumen de una variedad riemanniana compacta se convierte en una variedad de Hilbert suave cuando se amplía a una clase de espacio de Sobolev , para . El espacio tangente correspondiente consiste en campos vectoriales libres de divergencia de clase , y el producto interno induce una métrica riemanniana invariante a la derecha.

La descomposición de Hodge da lugar a una proyección ortogonal, conocida como proyección de Leray, que permite formular las ecuaciones de Euler de forma clara como una ecuación geodésica. Esto conduce a una versión precisa de la ecuación de Euler-Arnold en la variedad infinita dimensional de difeomorfismos de Sobolev. Ebin y Marsden establecieron que el spray geodésico asociado a esta estructura es suave y no pierde derivadas, lo que garantiza que el problema del valor inicial para las ecuaciones de Euler incompresibles está bien planteado localmente en los espacios de Sobolev, un paso importante hacia la comprensión de la existencia y la regularidad de los flujos de fluidos, tal y como se plantea en el Problema del Milenio: Problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes.

Véase también Ecuaciones de Navier-Stokes Ecuación de Euler-Lagrange

Referencias

Bibliografía Terence Tao's blog: https://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ The original source: Arnold, V. "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits." Annales de l'Institut Fourier (Grenoble) 16 (1966), 319–361. (in French) DOI: 10.5802/aif.233 Jae Min Lee (2018), Geometry and Analysis of some Euler-Arnold Equations, PhD thesis, City University of New York

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