En cálculo, la regla general de Leibniz, llamada así en honor a Gottfried Wilhelm Leibniz, generaliza la regla del producto para la derivada del producto de dos (también conocida como «regla de Leibniz»). Establece que si y son funciones -veces diferenciables, entonces el producto también es -veces diferenciable y su -ésima derivada viene dada por
donde es el coeficiente binomial y denota la derivada j-ésima de f y, en particular, .
La regla se puede demostrar utilizando la regla del producto y la inducción matemática. Derivada segunda Si, por ejemplo, , la regla da una expresión para la derivada segunda de un producto de dos funciones:
Más de dos factores La fórmula se puede generalizar al producto de «m» funciones diferenciables «f»1,...,«f»«m».
donde la suma se extiende sobre todas las tuplas «m» (k₁, ..., k_m) de números enteros no negativos con
son los coeficientes multinomiales. Esto es similar a la fórmula multinomial de álgebra. Demostración La demostración de la regla general de Leibniz se procede por inducción. Sean y funciones veces diferenciables. El caso base cuando afirma que:
que es la regla del producto habitual y se sabe que es cierta. A continuación, supongamos que la afirmación es válida para un fijo, es decir, que
Entonces,
Por lo tanto, la afirmación es válida para y la demostración queda completa. Relación con el teorema binomial
La regla de Leibniz tiene un gran parecido con el teorema binomial, y de hecho el teorema binomial se puede demostrar directamente a partir de la regla de Leibniz tomando y lo que da
y dividiendo ambos lados por
se obtiene: : Cálculo multivariable Con la notación multiíndice para las derivadas parciales de funciones de varias variables, la regla de Leibniz se expresa de forma más general:
Esta fórmula se puede utilizar para derivar una fórmula que calcula el símbolo de la composición de operadores diferenciales. De hecho, sean «P» y «Q» operadores diferenciales (con coeficientes que son diferenciables un número suficiente de veces) y Dado que «R» también es un operador diferencial, el símbolo de «R» viene dado por:
Un cálculo directo nos da ahora:
Esta fórmula se conoce normalmente como fórmula de Leibniz. Se utiliza para definir la composición en el espacio de símbolos, induciendo así la estructura de anillo. Véase también Derivación (álgebra abstracta) Cálculo umbral
Referencias
Categoría:Reglas de derivación Categoría:Identidad matemática Categoría:Teoremas de análisis matemático Categoría:Teoremas de cálculo Categoría:Gottfried Leibniz