En cálculo diferencial, no existe una única notación para la derivación estándar. Varios matemáticos tienen notaciones diferentes, entre ellos Leibniz, Newton, Lagrange y Arbogast. La utilidad de cada notación depende del contexto en el que se utilice, y a veces es ventajoso utilizar más de una notación en un contexto determinado. Para entornos más especializados, como las derivadas parciales en cálculo multivariable, análisis tensorial o cálculo vectorial, son comunes otras notaciones, como la notación subíndice o el operador ∇. A continuación se enumeran las notaciones más comunes para la derivación (y su operación opuesta, la antiderivación o la integración indefinida).
Notación de Leibniz
La notación original empleada por Gottfried Leibniz se utiliza en todas las matemáticas. Es especialmente habitual cuando la ecuación se considera una relación funcional entre variables dependientes e independientes y . La notación de Leibniz hace explícita esta relación escribiendo la derivada como:
Además, la derivada de en se escribe, por lo tanto,
El valor de la derivada de en un punto puede expresarse de dos maneras utilizando la notación de Leibniz:
La notación de Leibniz permite especificar la variable para la derivación (en el denominador). Esto es especialmente útil cuando se consideran derivadas parciales. También hace que la regla de la cadena sea fácil de recordar y reconocer:
La notación de Leibniz para la derivación no requiere asignar significado a símbolos como o (conocidos como diferenciales) por sí mismos, y algunos autores no intentan asignarles ningún significado. Leibniz trataba estos símbolos como infinitesimales. Autores posteriores les han asignado otros significados, como infinitesimales en análisis no estándar o derivadas exteriores. Normalmente, se deja sin definir o se equipara con , mientras que a se le asigna un significado en términos de , mediante la ecuación
que también se puede escribir, por ejemplo,
(véase más abajo). Tales ecuaciones dan lugar a la terminología que se encuentra en algunos textos en los que la derivada se denomina «coeficiente diferencial» (es decir, el coeficiente de ). | Algunos autores y revistas establecen el símbolo diferencial en tipo romano en lugar de cursiva: . La guía de estilo científico ISO/IEC 80000 recomienda este estilo.
Notación de Lagrange
Una de las notaciones modernas más comunes para la derivación lleva el nombre de Joseph Louis Lagrange, aunque en realidad fue inventada por Euler y popularizada por el primero. En la notación de Lagrange, una prima denota una derivada. Si “'f”' es una función, entonces su derivada evaluada en x se escribe . Apareció por primera vez en 1749.
Las derivadas superiores se indican utilizando marcas primas adicionales, como en para la derivada segunda y para la derivada tercera. El uso repetido de marcas primas acaba resultando poco práctico, por lo que algunos autores continúan empleando números romanos, normalmente en minúscula, como en
para denotar las derivadas de cuarto, quinto, sexto y orden superior. Otros autores utilizan números arábigos entre paréntesis, como en
Esta notación también permite describir la derivada «n», donde «n» es una variable. Se escribe
Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Lagrange incluyen
Cuando hay dos variables independientes para una función , a veces se utilizaba la siguiente notación:“'The Differential and Integral Calculus”' (Augustus De Morgan, 1842). pp. 267-268
Notación de Lagrange para la antiderivada
Al tomar la antiderivada, Lagrange siguió la notación de Leibniz:Lagrange, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308|LOG_0017&physid=PHYS_0031
Sin embargo, dado que la integración es la operación inversa de la derivación, la notación de Lagrange para derivadas de orden superior se extiende también a las integrales. Las integrales repetidas de «f» pueden escribirse como para la primera integral (esto se confunde fácilmente con la función inversa ), para la segunda integral, para la tercera integral, y para la integral «n».
Notación D
Esta notación se denomina a veces «notación de Euler», aunque fue introducida por Louis François Antoine Arbogast, y parece que Leonhard Euler no la utilizó.
Esta notación utiliza un operador diferencial denotado como (operador D) o (Operador de Newton-Leibniz).Weisstein, Eric W. «Operador diferencial». De «MathWorld», un recurso web de Wolfram. Cuando se aplica a una función , se define mediante
Las derivadas superiores se notan como «potencias» de «D» (donde los superíndices denotan la composición iterada de «D»), como en
para la segunda derivada, para la tercera derivada, y para la derivada «n».
La notación D deja implícita la variable con respecto a la cual se realiza la derivación. Sin embargo, esta variable también se puede hacer explícita poniendo su nombre como subíndice: si «f» es una función de una variable «x», esto se hace escribiendo para la primera derivada, para la segunda derivada, para la tercera derivada, y para la derivada «n». Cuando «f» es una función de varias variables, es habitual utilizar «∂», una «d» minúscula cursiva estilizada, en lugar de «». Como arriba, los subíndices denotan las derivadas que se están tomando. Por ejemplo, las segundas derivadas parciales de una función son:
Véase Derivadas parciales
La notación D es útil en el estudio de las ecuaciones diferenciales y en el álgebra diferencial.
Notación D para antiderivadas
La notación D se puede utilizar para antiderivadas de la misma manera que la notación de LagrangeWeisstein, Eric W. «Integral repetida». De «MathWorld», un recurso web de Wolfram. de la siguiente manera para una primera antiderivada, para una segunda antiderivada, y para una antiderivada de orden «n».
Notación de Newton
Notación de Isaac Newton para la diferenciación (también llamada «notación de puntos», fluxions, o a veces, de forma burda, la «notación flyspeck» para la diferenciación) coloca un punto sobre la variable dependiente. Es decir, si y es una función de t, entonces la derivada de y con respecto a t es
Los derivados superiores se representan utilizando varios puntos, como en
Newton amplió bastante esta idea:Notación de Newton reproducida de: Derivadas de la primera a la quinta: «Quadratura curvarum» (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r en el manuscrito original: ). Derivadas primera a séptima, «n»-ésima y (n+1)-ésima: «Método de las fluxiones» (Newton, 1736), pp. 313-318 y p. 265 (p. 163 en el manuscrito original: ) Derivadas de la 1.ª a la 5.ª: “'A Treatise of Fluxions”' (Colin MacLaurin, 1742), p. 613 Derivadas de la 1.ª a la 4.ª y de la n.ª: Artículos «Differential» y «Fluxion», “'Dictionary of Pure and Mixed Mathematics”' (Peter Barlow, 1814) Derivadas primera a cuarta, décima y «n-ésima»: Artículos 622, 580 y 579 en «A History of Mathematical Notations» (F .Cajori, 1929) Derivadas primera a sexta y «n-ésima»: «The Mathematical Papers of Isaac Newton», vol. 7, 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), pp. 88 y 17 Derivadas primera a tercera y «n-ésima»: «A History of Analysis» (Hans Niels Jahnke, 2000), pp. 84-85 El punto para la «n-ésima» derivada puede omitirse ( )
Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Newton incluyen:
← sustituido por «diaéresis combinatoria» + «punto combinatorio por encima». ← sustituido por «diéresis combinada» dos veces.
La notación de Newton se utiliza generalmente cuando la variable independiente denota tiempo. Si la ubicación es una función de t, entonces denota velocidadWeisstein, Eric W. «Overdot». De MathWorld--Un recurso web de Wolfram. y denota aceleración.Weisstein, Eric W. «Double Dot». De «MathWorld», un recurso web de Wolfram. Esta notación es popular en física y física matemática. También aparece en áreas de las matemáticas relacionadas con la física, como las ecuaciones diferenciales.
Al derivar una variable dependiente y = f(x), existe una notación alternativa:Artículo 580 en Florian Cajori, “'A History of Mathematical Notations”' (1929), Dover Publications, Inc. Nueva York.
Newton desarrolló los siguientes operadores diferenciales parciales utilizando puntos laterales en una X curva ( ⵋ ). Las definiciones dadas por Whiteside son las siguientes:«Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century», “'Archive for History of Exact Sciences”' Vol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), pp. 361-362,378S.B. Engelsman ha dado definiciones más estrictas en «Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation» (2000), pp. 223-226
Notación de Newton para la integración Newton desarrolló muchas notaciones diferentes para la integración en su “'Quadratura curvarum”' (1704) y en obras posteriores: escribió una pequeña barra vertical o prima sobre la variable dependiente ( ), un rectángulo prefijo (), o el encerramiento del término en un rectángulo () para denotar el método «fluido» o integral de tiempo (ausencia).
Para denotar integrales múltiples, Newton utilizó dos pequeñas barras verticales o primos (), o una combinación de los símbolos anteriores , para denotar la segunda integral de tiempo (absity).
Las integrales de orden superior eran las siguientes:Notación de Newton para la integración reproducida de: 1.ª a 3.ª integrales: Quadratura curvarum (Newton, 1704), p. 7 (p. 5r en el manuscrito original: ) Integrales 1.ª a 3.ª: «Método de las fluxiones» (Newton, 1736), pp. 265-266 (p. 163 en el manuscrito original: ) Cuartas integrales: «The Doctrine of Fluxions» (James Hodgson, 1736), pp. 54 y 72 Primeras y segundas integrales: Artículos 622 y 365 en «A History of Mathematical Notations» (F .Cajori, 1929) La notación de la integral «n» se deduce de la derivada «n». Podría utilizarse en «Methodus Incrementorum Directa & Inversa» (Brook Taylor, 1715)
Esta notación matemática no se generalizó debido a las dificultades de impresión[Cita requerida] y a la controversia entre Leibniz y Newton sobre el cálculo. Derivadas parciales
Cuando se necesitan tipos de diferenciación más específicos, como en cálculo multivariable o análisis tensorial, se suelen utilizar otras notaciones.
Para una función «f» de una sola variable independiente x, podemos expresar la derivada utilizando subíndices de la variable independiente:
Este tipo de notación es especialmente útil para calcular derivadas parciales de una función de varias variables.
Las derivadas parciales se distinguen generalmente de las derivadas ordinarias sustituyendo el operador diferencial «d» por el símbolo «∂». Por ejemplo, podemos indicar la derivada parcial de con respecto a x, pero no a y o z de varias maneras:
Lo que hace importante esta distinción es que una derivada no parcial como «puede», dependiendo del contexto, interpretarse como una tasa de cambio en con respecto a cuando se permite que todas las variables varíen simultáneamente, mientras que con una derivada parcial como queda explícito que solo debe variar una variable.
Se pueden encontrar otras notaciones en diversos subcampos de las matemáticas, la física y la ingeniería; véanse, por ejemplo, las relaciones de Maxwell de la termodinámica. El símbolo es la derivada de la temperatura «T» con respecto al volumen «V» manteniendo constante la entropía (subíndice) «S», mientras que es la derivada de la temperatura con respecto al volumen manteniendo constante la presión «P». Esto es necesario en situaciones en las que el número de variables supera los grados de libertad, de modo que hay que elegir qué otras variables se mantienen fijas.
Las derivadas parciales de orden superior con respecto a una variable se expresan como
y así sucesivamente. Las derivadas parciales mixtas se pueden expresar como
En este último caso, las variables se escriben en orden inverso entre las dos notaciones, como se explica a continuación: