En matemáticas, la constante de Glaisher-Kinkelin o constante de Glaisher, denotada como , es una constante matemática relacionada con funciones especiales como la función , la función de Barnes, la función gamma y la función zeta de Riemann. Lleva el nombre de los matemáticos James Glaisher y Hermann Kinkelin .

Su valor aproximado es:

= 1.282 427 129 100 622 636 87

La constante de Glaisher-Kinkelin se define mediante el siguiente límite :

dónde es el hiperfactorial:

que presenta una similitud entre con la fórmula de Stirling:

con el factorial regular:

Esto demuestra que así como se obtiene a partir de la aproximación de los factoriales, se obtiene a partir de la aproximación de los hiperfactoriales.

Relación con funciones especiales Así como los factoriales pueden extenderse a los números complejos mediante la función gamma tal que para números naturales n, los hiperfactoriales se pueden extender mediante la función K con , también para números naturales n. Tenemos:

Esto nos da:

.

Una función relacionada con la función K es la función de Barnes, que es definida como

y para el cual existe un límite similar:

.

La constante de Glaisher también aparece en la evaluación de la función K y la función Barnes-G en valores racionales como los siguientes:

Tenemos la constante del catalán y la constante de la lemniscata .

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica: E. T. Whittaker and G. N. Watson, "A Course of Modern Analysis", CUP.

La constante También se puede utilizar para dar algunos valores de la derivada de la función zeta de Riemann como expresiones de forma cerrada, tales como:

con siendo la constante de Euler-Mascheroni .

Sumas y productos La fórmula anterior para da la siguiente suma:

la cual nos da un producto relacionado encontrado por Glaisher :

De manera similar tenemos la suma

Lo cual da:

Un producto alternativo, definida sobre los números primos:

Una representación en serie para esta constante se deriva de una serie para la función zeta de Riemann dada por Jesús Guillera:

Integrales Las siguientes son algunas integrales relacionadas con la constante de Glaisher:

Véase también

Aproximación de Stirling Lista de constantes matemáticas

Referencias

Enlaces externos

La constante de Glaisher-Kinkelin hasta 20.000 cifras decimales

Categoría:Teoría de números Categoría:Constantes matemáticas