Las rutas sobre una sección terrestre son curvas planas definidas por la intersección de un elipsoide de referencia y un plano (secciones elipsoidales planas). Algunos ejemplos comunes incluyen la gran elipse (que contiene el centro del elipsoide) y las secciones normales (que contienen una dirección normal del elipsoide). Las rutas de la sección terrestre son útiles como soluciones aproximadas de problemas geodésicos, como el cálculo directo e inverso de distancias geográficas. La solución rigurosa de los problemas geodésicos implica la determinación de las curvas conocidas como líneas geodésicas.
Problema inverso El problema inverso de las secciones terrestres es: dados dos puntos, y en la superficie del elipsoide de referencia, encontrar la longitud, , del arco más corto de una sección del esferoide desde hasta y también encontrar los acimutes de salida y llegada (ángulo desde el norte verdadero) de esa curva, y . La figura de la derecha ilustra la notación utilizada aquí. Sean la latitud geodésica y la longitud (k=1,2). Este problema se resuelve mejor utilizando geometría analítica en coordenadas cartesianas centradas y fijas en la Tierra (ECEF). Sean y las coordenadas ECEF de los dos puntos, calculadas utilizando la transformación geodésica a ECEF analizada en el artículo conversión de coordenadas geográficas.
Plano de sección Para definir el plano de sección, se selecciona cualquier tercer punto que no esté en la línea de a . Elegir que esté en la normal de la superficie en definirá la sección normal en . Si es el origen, entonces la sección de la Tierra es una gran elipse (el origen sería colineal con 2 puntos antípodas, por lo que se debe utilizar un punto diferente en ese caso). Dado que hay infinitas opciones para , el problema anterior es realmente una clase de problemas (uno para cada plano). Sea . Para poner la ecuación del plano en la forma estándar, , donde , se requieren las componentes de un vector unitario, , normal al plano de sección. Estas componentes pueden calcularse de la siguiente manera: el vector de a es , y el vector de a es . Por lo tanto, ), donde es el vector unitario en la dirección de . La convención de orientación utilizada aquí es que apunta a la izquierda de la trayectoria. Si este no es el caso, se debe redefinir . Finalmente, el parámetro d para el plano puede calcularse utilizando el producto escalar de con un vector desde el origen hasta cualquier punto en el plano, como , es decir, . La ecuación del plano (en forma vectorial) es, por lo tanto, , donde es la posición de .
Acimut El examen de transformación de coordenadas ENU a ECEF revela que las coordenadas ECEF de un vector unitario que apunta al este en cualquier punto del elipsoide son: , un vector unitario que apunta al norte es y un vector unitario que apunta hacia arriba es . Un vector tangente a la trayectoria es: , por lo que la componente este de es y la componente norte es . Por lo tanto, el acimut se puede obtener a partir de la función arcotangente de dos argumentos, . Se utiliza este método tanto en como en para obtener y .
Elipse de la sección La intersección (no trivial) de un plano y un elipsoide es una elipse. Por lo tanto, la longitud del arco, , en la trayectoria de sección de a es una integral elíptica que se puede calcular con cualquier precisión deseada utilizando una serie truncada o una integración numérica. Antes de poder hacer esto, se debe definir la elipse y calcular los límites de integración. Sea el elipsoide dado y .
Si , entonces la sección es un círculo horizontal de radio , que no tiene solución si .
Si , Gilbertson demostró que las coordenadas ECEF del centro de la elipse son , donde , el semieje mayor es , en la dirección , y el semieje menor es , en la dirección , que no tiene solución si .
Longitud del arco El artículo mencionado anteriormente proporciona la deducción de una fórmula para calcular la longitud de arco que involucra el ángulo central y las potencias de con precisión milimétrica, donde . Esa fórmula de longitud de arco puede reorganizarse y ponerse en la forma: , donde y los coeficientes son
Para calcular el ángulo central, sea cualquier punto en la elipse de la sección y . Entonces, es un vector desde el centro de la elipse hasta el punto. El ángulo central es el ángulo desde el semieje mayor hasta . Si es , se tiene que . De esta manera, se obtienen y .
Por otro lado, es posible usar fórmulas de arco meridiano en el caso más general, siempre que se usen los parámetros de la elipse de la sección en lugar de los parámetros del esferoide. Una de esas series rápidamente convergentes se da empleando términos de la latitud paramétrica. Si se usa para denotar la excentricidad del esferoide, es decir, , entonces ≤ ≅ . De manera similar, el tercer aplanamiento de la elipse de la sección está limitado por el valor correspondiente para el esferoide, y para el esferoide se tiene que ≅ y ≅ . Por lo tanto, puede ser suficiente ignorar los términos más allá de en la serie de latitud paramétrica. Para aplicar en el contexto actual se requiere convertir el ángulo central al ángulo paramétrico utilizando , y utilizando la sección del tercer aplanamiento de la elipse. Cualquiera que sea el método que se use, se debe tener cuidado al utilizar y o y para asegurar que se use el arco más corto que conecta los dos puntos.
Problema directo Para el problema directo, se dan , la distancia y el acimut de salida ; y se deben encontrar y el acimut de llegada .
Plano de la sección La respuesta a este problema depende de la elección de , es decir, del tipo de sección. Obsérvese que no debe estar en el intervalo {} (de lo contrario, el plano sería tangente a la Tierra en , por lo que no se obtendría ninguna trayectoria). Una vez hecha esa elección y considerando la orientación, se debe proceder de la siguiente manera. Construir el vector tangente en , , donde y son vectores unitarios que apuntan al norte y al este (respectivamente) en . El vector normal ), junto con define el plano. En otras palabras, la tangente toma el lugar de la cuerda, ya que el destino es desconocido.
Localizar el punto de llegada Este es un problema 2-d en el intervalo {}, que se resuelve con la ayuda de la fórmula de longitud de arco anterior. Si se da la longitud de arco, , entonces el problema es encontrar el cambio correspondiente en el ángulo central , de modo que se puedan calcular y la posición. Suponiendo que se tiene una serie que permite calcular , entonces lo que se busca ahora es . La inversa de la serie de longitud de arco del ángulo central anterior se puede encontrar en la página 8a de Rapp, Vol. 1,Rapp, R. H. (1991), Geometric geodesy, part I, Ohio State Univ., que a su vez hace referencia a Ganshin.Gan'shin, V. V. (1969) .Geometry of the Earth Ellipsoid. Translated by Willis, J. M. St. Louis: Aeronautical Chart and Information Center. doi:10.5281/zenodo.32854. OCLC 493553. Translation from Russian of Геометрия земного эллипсоида (Moscow, 1967) Una alternativa al uso de la serie inversa es utilizar el método de Newton de aproximaciones sucesivas a . El problema inverso del meridiano para el elipsoide proporciona la inversa de la serie de longitud de arco de Bessel en términos del ángulo paramétrico. Antes de poder utilizar la serie inversa, se debe utilizar la serie de ángulos paramétricos para calcular la longitud del arco desde el semieje mayor hasta , . Una vez que se conoce , se aplica la fórmula inversa para obtener , donde . Las coordenadas rectangulares en el plano de sección son . Por lo tanto, se puede calcular un vector ECEF utilizando . Finalmente, se calculan las coordenadas geográficas mediante utilizando el algoritmo de Bowring de 1985, o el algoritmo detallado en el artículo dedicado a la conversión de coordenadas geográficas.
Acimut El acimut se puede obtener mediante el mismo método que el utilizado en el problema indirecto: y .
Ejemplos
Gran elipse
Una gran elipse es la curva formada al intersecar el elipsoide con un plano que pasa por su centro. Por lo tanto, para utilizar el método anterior, simplemente basta con que sea el origen, de modo que (el vector de posición de ). Este método evita las fórmulas complicadas y a veces ambiguas de la trigonometría esférica y proporciona una alternativa a las fórmulas de Bowring. El camino más corto entre dos puntos de un esferoide se conoce como geodésica. Tales caminos se desarrollan utilizando geometría diferencial. El ecuador y los meridianos son grandes elipses que también son geodésicas. La diferencia máxima de longitud entre una gran elipse y la geodésica correspondiente de 5000 millas náuticas (unidad abreviada como mn) es de unos 10,5 metros. La desviación lateral entre ellas puede ser de hasta 3,7 millas náuticas. Una sección normal que conecte los dos puntos estará más cerca de la geodésica que la gran elipse, a menos que el camino toque el ecuador.
En el elipsoide del Sistema Geodésico Mundial, los resultados para el gran arco elíptico desde Nueva York, = 40,64130°, = -73,77810° hasta París, = 49,00970°, = 2,54800° son:
= 53,596810°, = 111,537138° y = 5849159,753 (m) = 3158,293603 (mn). Los valores correspondientes para la geodésica son:
= 53,511007°, = 111,626714° y = 5849157,543 (m) = 3158,292410 (mn).
Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, supóngase que el acimut de salida y la distancia de viaje son los de la geodésica anterior y se utiliza la elipse mayor para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es = 49,073057°, = 2,586154°, que está a aproximadamente a 4,1 millas náuticas del punto de llegada en París definido anteriormente. Por supuesto, si se utiliza el acimut de salida y la distancia desde la elipse mayor, el problema indirecto localizará correctamente el destino, = 49,00970°, = 2,54800° y el acimut de llegada = 111,537138°.
Secciones normales Una sección normal en se determina si es la normal de la superficie en . Otra sección normal, conocida como la sección normal recíproca, resulta del uso de la normal de la superficie en . A menos que los dos puntos estén en el mismo paralelo o en el mismo meridiano, la sección normal recíproca será una trayectoria diferente a la de la sección normal. El enfoque anterior proporciona una alternativa a la de otros, como Bowring. La importancia de las secciones normales en topografía, así como un análisis del significado del término línea en dicho contexto, se presenta en el artículo de Deakin, Sheppard y Ross.
En el elipsoide WGS84, los resultados para la sección normal desde Nueva York, = 40,64130°, = -73,77810° a París, = 49,00970°, = 2,54800° son:
= 53,521396°, = 111,612516° y = 5849157,595 (m) = 3158,292438 (mn).
Los resultados para la sección normal recíproca de Nueva York a París son:
= 53,509422°, = 111,624483° y = 5849157,545 (m) = 3158,292411 (mn).
La diferencia máxima de longitud entre una sección normal y la geodésica correspondiente de 5000 millas náuticas de longitud es de aproximadamente 6,0 metros. La desviación lateral entre ellas puede ser de hasta 2,8 millas náuticas (mn).
Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, supóngase que el acimut de salida y la distancia de viaje son los de la geodésica anterior y se utiliza la normal de la superficie en Nueva York para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es = 49,017378°, = 2,552626°, que está a aproximadamente 1/2 milla náutica del punto de llegada definido anteriormente. Por supuesto, si se utiliza el acimut de salida y la distancia desde la sección normal del problema indirecto, se localizará correctamente el destino en París.