La teoría de la medida es una rama del análisis y de la geometría que investiga las medidas, las funciones medibles y la integración. Es de importancia central en geometría, probabilidad y en estadística.
En matemáticas, una medida de un conjunto es una forma sistemática y rigurosa de asignar un número a cada subconjunto apropiado de dicho conjunto. Intuitivamente, dicho número puede ser interpretado como una cierta medida del tamaño de dicho subconjunto. En este sentido, la medida es una generalización de los conceptos de "longitud","área", y "volumen". Dicha generalización se extiende tanto a mayores dimensiones (en el sentido de "hipervolúmenes") como a conceptos más abstractos, puesto que el conjunto sobre el que se aplica una medida no tiene por qué ser un subconjunto de un espacio geométrico. Un ejemplo sería la medida de Lebesgue: cuando se aplica en un espacio Euclídeo , la medida de Lebesgue asigna los valores convencionales de longitud, área y volumen a subconjuntos apropiados del espacio Euclídeo n-dimensional. Por ejemplo, la medida de Lebesgue en el intervalo [0,1] es la longitud de dicho intervalo en el sentido convencional de la misma, específicamente, 1.
Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no-negativo (o +∞) a ciertos subconjuntos de un conjunto X. La medida cumple una serie de propiedades: debe ser, por ejemplo, contable aditiva, en el sentido de que la medida de un subconjunto 'grande' puede siempre ser descompuesta en un número finito (o contablemente infinito) de subconjuntos disjuntos más pequeños, de tal modo que la medida sea la suma de las medidas de dichos subconjuntos más pequeños.
En general, si se pretende asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado y al mismo tiempo satisfacer el resto de axiomas de una medida, las únicas medidas que se suelen poder definir son ejemplos triviales como la medida de conteo. Este problema fue resuelto definiendo la medida como aplicable a unas familias reducidas de subconjuntos, usualmente llamados los conjuntos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra. Esto significa que los subconjuntos no medibles, esto es, los subconjuntos para los que uno no puede definir una medida (sea de Lebesgue u otra) son muchos. Generalmente, la limitación de que haya conjuntos no medibles puede interpretarse como una consecuencia no-trivial del axioma de elección.
Por ejemplo, con base en dicho axioma, la paradoja de Banach-Tarski señala que la bola unidad en tres dimensiones (esto es, una esfera de radio unidad) puede ser descompuesta en un número finito de piezas (no menos de cinco) tales que pueden ser recompuestos para formar dos bolas unitarias. Esto es, uno puede formar dos esferas de radio unidad usando tan solo cinco piezas de una sola esfera de radio unidad. Si este es el caso, parece absurdo pretender definir la medida de una bola unitaria, puesto que por subaditividad contable uno puede asignar al menos dos valores distintos a la misma. La teoría de la medida demarca las condiciones que los conjuntos tienen que cumplir para ser medibles.
Definiciones
Medida de un conjunto elemental La definición de una medida m sobre un conjunto requiere la definición de una serie de conceptos previos que inducen la medida. De forma general, la medida de un conjunto es un cierto número que denota el tamaño o la longitud de dicho conjunto. Por supuesto, la definición de la medida generaliza dicha idea y la dota de rigor.
Sea un intervalo definido como un subconjunto de de la forma:
donde son números reales.
La longitud del intervalo se define como
Una caja en es el producto cartesiano de n intervalos de longitud cualquiera. El volumen de dicha caja queda definido como
Un conjunto elemental E es cualquier subconjunto de formado por la unión de un número finito de cajas:
Medida de un conjunto elemental. Sea . Si se particiona como la unión finita de un conjunto disjunto de cajas, con , entonces la cantidad
es independiente del modo en que se realiza la partición, y se le llama la medida elemental del conjunto E.
Propiedades De la definición de medida elemental se siguen varias propiedades compartidas por todas las medidas. En concreto:
, . , . La medida es siempre un número real positivo.
en el caso de que E y F no sean necesariamente disjuntos. en el caso de que los conjuntos no sean necesariamente disjuntos. , esto es, la medida es siempre invariante con respecto a la traslación. Si y son ambos conjuntos elementales, entonces también es elemental, y su medida es
Por tanto, queda claro que la medida generaliza el concepto de volumen de una caja, puesto que m(B)= |B| para toda caja.
Medida de Jordan Los conjuntos elementales son muy restrictivos, pues solo pueden construirse con base en intervalos. La medida de Jordan es la primera generalización del concepto de medida. La idea general es la de demarcar el conjunto E con otros dos conjuntos, uno que lo inscribe y otro que lo circunscribe. Dichos dos conjuntos pueden ser expresados como conjuntos elementales, y en el límite, conforme las cajas que conforman dichos conjuntos aumentan en número e inscriben al conjunto E mejor, las medidas elementales de dichos conjuntos acabarán por converger a la medida (de Jordan) de E.
Sea un conjunto acotado a medir. Sean A y B dos conjuntos elementales tales que . Entonces, la medida interna de Jordan del conjunto acotado E se define como
la medida externa de Jordan del conjunto acotado E se define como
Cuando , el conjunto E se dice que es medible según Jordan, y su medida se denota como la medida de Jordan.
Propiedades La medida de Jordan cumple las siguientes propiedades. Si son conjuntos medibles según Jordan: Cierre Booleano. Los conjuntos son medibles según Jordan.
Aditividad finita. Si son disjuntos, entonces . Monotonicidad. Si , entonces . Subaditividad finita. . Invariancia traslacional. . Producto de medidas. Si y son ambos conjuntos medibles según Jordan, entonces también es medible según Jordan, y su medida de Jordan es .
Aunque mejora la definición de medida al extenderla a ciertos conjuntos no elementales, la medida de Jordan no es universalmente aplicable, pues se basa en la idea de poder circunscribir el conjunto E con conjuntos elementales externos e internos al mismo; dichos conjuntos elementales son, por definición, finitos. Esto es problemático en muchos casos. Para empezar, no puede extenderse a conjuntos abiertos, para los que la demarcación del conjunto E con medidas internas y externas queda ambiguamente definida. En general, la medida de Jordan solo se puede aplicar si la frontera topológica del conjunto E tiene medida externa de Jordan cero. Esto excluye conjuntos con fronteras con propiedades fractales, pero también conjuntos con agujeros internos. La medida de Lebesgue viene a generalizar a la de Jordan a un número mayor de conjuntos.
Medida de Jordan e integral de Riemann La medida de Jordan está íntimamente relacionada con la integral de Riemann, de tal modo que las limitaciones de la integral definida según Riemann son las propias de la medida de Jordan. En concreto, si E es un conjunto medible según Jordan entendido como el intervalo , y definimos la función indicatriz como
entonces dicha función indicatriz es integrable según Riemann, y
donde es la medida de Jordan del intervalo. Esto es, todo intervalo de integración según Riemann induce una medida de Jordan sobre el mismo.
Además, si es una función acotada en el intervalo , y definimos los conjuntos acotados positivo y negativo como los conjuntos medibles según Jordan en :
Entonces la integral de Riemann de f(x) es
donde es la medida (bidimensional) de Jordan de . Esto es, la medida de Jordan define el área (o volumen, o longitud) de un conjunto, y la integral de Riemann describe el área bajo la curva, entendida como la medida de Jordan del área definida por el eje abscisas (x=0) y la función f(x). Si f(x) no es lo suficientemente regular, la medida de Jordan de dicha área no existe, y por tanto la integral de Riemann tampoco. Esto es, las condiciones necesarias para que un conjunto sea integrable según Riemann y medible según Jordan son las mismas.
Medida de Lebesgue La medida de Lebesgue es una generalización de la medida de Jordan que extiende el conjunto de conjuntos medibles (y, por tanto, integrables). El problema con la medida de Jordan está relacionado con la definición de medida externa de Jordan, que viene dada por
La aditividad finita permite extender la medida externa de Jordan como
Esto quiere decir que la medida externa de Jordan es el ínfimo de todas las formas con que se puede cubrir el conjunto E como la unión finita de cajas elementales.
La medida externa de Lebesgue se define como la extensión de la medida externa de Jordan a una sucesión contable de cajas ,
Claramente, , pues siempre podremos generar la unión de cajas finitas que implica Jordan usando un número infinito de cajas de volumen cero según Lebesgue. Pero al mismo tiempo, puede ser mucho menor, y puede ser aplicado a un número mucho menos restrictivo de conjuntos E.
La medida interna de Lebesgue se demuestra menos útil: uno no gana mayor poder de medida con extender la medida interna de Jordan a la unión contable de un número infinito de cajas. Pero sí lo gana definiéndola con base en complementos. Así, la medida interna de Lebesgue se define como
donde A es todo conjunto elemental que contenga a E. Por tanto, la medida externa de Lebesgue parece bastar para establecer una medida.
Con todo, un conjunto se dice medible según Lebesgue si para todo existe un conjunto abierto con tal que . Si E es medible según Lebesgue, entonces es la medida de Lebesgue de E.
Relación con la medida elemental Si E es un conjunto elemental, entonces la medida (exterior) de Lebesgue de E, es igual a la medida elemental de dicho conjunto, esto es:
Si E es un conjunto medible cualquiera, entonces en general
Relación con la medida de Jordan La medida de Lebesgue de todo conjunto medible según Jordan es igual a la medida de Jordan de dicho conjunto. Esto es
Si E es un conjunto medible cualquiera, entonces en general
Por tanto, se sigue que la medida de Lebesgue está acotada por las medidas interna y externa de Jordan:
Propiedades de los conjuntos medibles según Lebesgue Un conjunto medible según Lebesgue tiene asociado al mismo una medida de Lebesgue. Pero es posible, al menos en principio, tratar de asociar una medida de Lebesgue a conjuntos que no son medibles según Lebesgue. Esto suele llevar a contradicciones o ambigüedades. En todo caso, es necesario distinguir entre las propiedades asociadas a los conjuntos que son medibles según Lebesgue, y las propiedades mismas de la medida de Lebesgue. A continuación, detallamos las propiedades de los conjuntos medibles según Lebesgue.
Regularidad exterior Sea un conjunto cualquiera, y sea U un conjunto abierto tal que . Entonces
El reverso, esto es, , es falso.
Existencia de los conjuntos medibles según Lebesgue Los conjuntos medibles según Lebesgue son muchos. En concreto, se puede demostrar que: Todo conjunto abierto es medible según Lebesgue. Todo conjunto cerrado es medible según Lebesgue. Todo conjunto cuya medida de Lebesgue es nula es medible. El conjunto vacío es medible. Si es medible según Lebesgue, entonces su complementario es medible según Lebesgue. Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contable de conjuntos medibles según Lebesgue, su unión será también medible según Lebesgue. Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contable de conjuntos medibles según Lebesgue, su intersección será también medible según Lebesgue.
Axiomas de la medida de Lebesgue Las propiedades de la medida (externa) de Lebesgue cuando esta se aplica a conjuntos que son medibles según Lebesgue son las siguientes: Elemento neutro: .