En matemáticas, y específicamente en geometría diferencial, una forma de conexión es una manera de organizar los datos de una conexión utilizando el lenguaje de los sistemas de referencia móviles y de las formas diferenciales.
Históricamente, las formas de conexión fueron introducidas por Élie Cartan (1869-1951) en la primera mitad del como parte y una de las principales motivaciones de su método de sistemas de referencia móviles. La forma de conexión generalmente depende de la elección de un sistemas de referencia coordenados y, por lo tanto, no es un objeto tensorial. Después del trabajo inicial de Cartan se formularon varias generalizaciones y reinterpretaciones de la forma de conexión. En particular, en un fibrado principal, una conexión principal es una reinterpretación natural de la forma de conexión como un objeto tensorial. Por otro lado, la forma de conexión tiene la ventaja de que es una forma diferencial definida en alguna variedad diferenciable, en lugar de un haz principal abstracto sobre dicha variedad. Por lo tanto, a pesar de su falta de tensorialidad, las formas de conexión siguen utilizándose debido a la relativa facilidad para realizar cálculos con ellas., , En física, las formas de conexión también se utilizan ampliamente en el contexto de la teoría de campo de gauge, a través de la derivada covariante gauge.
Una forma de conexión asocia a cada base de un fibrado vectorial una matriz de formas diferenciales. La forma de conexión no es tensorial porque bajo un cambio de base, la forma de conexión se transforma de una manera que involucra a la derivada exterior de funciones de transición, de manera muy similar a como lo hacen los símbolos de Christoffel para la conexión de Levi-Civita. El principal invariante tensorial de una forma de conexión es su forma de curvatura. En presencia de una forma de soldadura que identifica el haz de vectores con el fibrado tangente, hay un invariante adicional: la forma de torsión. En muchos casos, las formas de conexión se consideran haces de vectores con estructura adicional: la de un fibrado con una estructura de grupo.
Haces de vectores
Sistemas de referencia en un haz de vectores
Sea E un fibrado vectorial de dimensión de fibra k sobre una variedad diferenciable M. Un sistema de referencia local para E es una base ordenada de secciones locales de E. Siempre es posible construir un sistema de referencia local, ya que los haces de vectores siempre se definen en términos de fibrado, en analogía con el atlas de una variedad. Es decir, dado cualquier punto x en la variedad base M, existe una vecindad abierta U ⊂ M de x para la cual el haz de vectores sobre U es isomorfo al espacio U × Rk: esta es la trivialización local. De este modo, la estructura del espacio vectorial en Rk se puede extender a toda la trivialización local, y también se puede extender una base en Rk; lo que permite definir el sistema de referencia local (aquí, R hace referencia a los números reales , aunque gran parte del presente desarrollo se puede extender a módulos sobre anillos en general, y a espacios vectoriales sobre los números complejos en particular).
Sea e = (eα)α=1,2,...,k un sistema de referencia local en E. Este sistema de referencia se puede utilizar para expresar localmente cualquier sección de E. Por ejemplo, supóngase que ξ es una sección local, definida sobre el mismo conjunto abierto que el sistema de referencia e. Entonces
donde ξα(e) denota las componentes de ξ en el sistema de referencia e. Como ecuación matricial, esto se lee
En la relatividad general, dichos campos de sistemas de referencia se denominan tétradas. La tétrada relaciona específicamente el sistema de referencia local con un sistema de coordenadas explícito en la variedad base M (el sistema de coordenadas en M está establecido por el atlas).
Conexiones exteriores
Una conexión en E es un tipo de operador diferencial
donde Γ denota los haces de las secciones locales de un haz de vectores, y Ω1M es el haz de 1-formas diferenciales en M. Para que D sea una conexión, debe estar correctamente acoplada a la derivada exterior. Específicamente, si v es una sección local de E y f es una función suave, entonces
donde df es la derivada exterior de f.
A veces es conveniente extender la definición de D a formas con valores en E arbitrarios, considerándolo así como un operador diferencial en el producto tensorial de E con el producto exterior completo de formas diferenciales. Dada una conexión exterior D que satisface esta propiedad de compatibilidad, existe una extensión única de D:
tal que
donde v es homogénea de grado v. En otras palabras, D es una derivación en el haz de módulos graduados Γ(E ⊗ Ω*M).
Formas de conexión Las formas de conexión surgen al aplicar la conexión exterior a un sistema de referencia particular e. Al aplicar la conexión exterior a eα, es la única matriz k × k (ωαβ) de 1-formas en M tal que
En términos de la forma de conexión, ahora se puede expresar la conexión exterior de cualquier sección de E. Por ejemplo, supóngase que ξ = Σα eαξα. Entonces
Tomando componentes en ambos lados,
donde se entiende que d y ω se refieren a la derivada componente con respecto al sistema de referencia e, y una matriz de 1-formas, respectivamente, que actúa sobre los componentes de ξ. Por el contrario, una matriz de 1-formas ω es a priori suficiente para determinar completamente la conexión localmente en el conjunto abierto sobre el cual se define la base de las secciones e.
Cambio de sistema de referencia Para extender ω a un objeto global adecuado, es necesario examinar cómo se comporta cuando se realiza una elección diferente de secciones básicas de E. Se escribe ωαβ = ωαβ(e) para indicar la dependencia de la elección de e.
Supóngase que e′ es una elección diferente de base local. Entonces, existe una matriz invertible k × k de funciones g tal que
Aplicando la conexión exterior a ambos lados de la ecuación se obtiene la ley de transformación para ω:
Téngase en cuenta en particular que ω no se transforma de manera tensorial, ya que la regla para pasar de un sistema de referencia a otro implica las derivadas de la matriz de transición g.
Forma de conexión global Si {Up} es un recubrimiento abierto de M, y cada Up está equipada con una trivialización ep de E, entonces es posible definir una forma de conexión global en términos de los datos de parcheo entre las formas de conexión local en las regiones superpuestas. En detalle, una forma de conexión en M es un sistema de matrices ω(ep) de 1-formas definidas en cada U p que satisfacen la siguiente condición de compatibilidad
Esta condición de compatibilidad garantiza en particular que la conexión exterior de una sección de E, cuando se considera abstractamente como una sección de E ⊗ Ω1M, no depende de la elección de la sección base utilizada para definir la conexión.
Curvatura
La curvatura de una 2-forma de una forma de conexión en E está definida por
A diferencia de la forma de conexión, la curvatura se comporta tensorialmente ante un cambio de sistema de referencia, lo que se puede comprobar directamente utilizando el lema de Poincaré. Específicamente, si e → eg es un cambio de sistema de referencia, entonces la curvatura de dos formas se transforma por
Una interpretación de esta ley de transformación es la siguiente. Sea e* la base dual correspondiente al sistema de referencia e. Entonces, la 2-forma
es independiente de la elección del sistema de referencia. En particular, Ω es una 2-forma de valores vectoriales en M con valores en el anillo de endomorfismo Hom(E,E). Simbólicamente,
En términos de la conexión exterior D, el endomorfismo de curvatura viene dado por
para v ∈ E. Así, la curvatura mide el desajuste de la serie
para ser un complejo de cadenas (en el sentido de la cohomología de De Rham).
Soldadura y torsión Supóngase que la dimensión de la fibra k de E es igual a la dimensión de la variedad M. En este caso, el haz de vectores E a veces está equipado con un dato adicional además de su conexión: una forma de soldadura. Una forma de soldadura es una 1-forma con valores vectoriales θ ∈ Ω1(M,E) definida globalmente tal que la aplicación
es un isomorfismo lineal para todo x ∈ M. Si se proporciona una forma de soldadura, entonces es posible definir la torsión de la conexión (en términos de la conexión exterior) como
La torsión Θ es una 2-forma con valor E en M.
Una forma de soldadura y la torsión asociada pueden describirse en términos de un sistema de referencia local e de E. Si θ es una forma de soldadura, entonces se descompone en las componentes del sistema de referencia
Las componentes de la torsión son entonces
Al igual que la curvatura, se puede demostrar que Θ se comporta como un tensor contravariante ante un cambio de sistema de referencia:
La torsión independiente del sistema de referencia también se puede recuperar de los componentes del sistema de referencia:
Identidades de Bianchi Las formas de curvatura relacionan la torsión con la curvatura. La primera identidad de Bianchi establece que
mientras que la segunda identidad de Bianchi establece que
Ejemplo: la conexión Levi-Civita Como ejemplo, supóngase que M lleva asociada una variedad de Riemann. Si se tiene un fibrado vectorial E sobre M, entonces la métrica se puede extender a todo el haz de vectores, como una métrica de haz. Entonces, se puede definir una conexión que sea compatible con esta métrica de haz, esta es una conexión métrica. Para el caso especial de que E sea un fibrado tangente TM, la conexión métrica se denomina conexión riemanniana. Dada una conexión riemanniana, siempre se puede encontrar una conexión única equivalente que sea libre de torsión. Esta es la conexión de Levi-Civita en el haz tangente TM de M.Véase , cápitulo 4, para una descripción completa de la conexión de Levi-Civita desde este punto de vista.Véase , II.7 para obtener una descripción completa de la conexión de Levi-Civita desde este punto de vista.
Un sistema de referencia local en el haz tangente es una lista ordenada de campos vectoriales , donde , definidos en un subconjunto abierto de M que son linealmente independientes en cada punto de su dominio. Los símbolos de Christoffel definen la conexión de Levi-Civita por
Si θ = , denota la base dual del fibrado cotangente, de modo que θi(ej) = δij (la delta de Kronecker), entonces la forma de conexión es
En términos de la forma de conexión, la conexión exterior en un campo vectorial viene dada por
Se puede recuperar la conexión de Levi-Civita, en el sentido habitual, contrayendo con ei:
Curvatura La 2-forma de curvatura de la conexión de Levi-Civita es la matriz (Ωij) dada por
Para simplificar, supóngase que el sistema de referencia e es holonómica, por lo que .En un marco no holonómico, la expresión de la curvatura se complica aún más por el hecho de que las derivadas dθi deben ser tenidas en cuenta. Entonces, empleando ahora el convenio de suma de Einstein en índices repetidos,
donde R es el tensor de curvatura.
Torsión La conexión de Levi-Civita se caracteriza por ser la única conexión métrica en el haz tangente con torsión cero. Para describir la torsión, obsérvese que el haz de vectores E es el haz tangente. Esto conlleva una forma de soldadura canónica (a veces llamada 1-forma canónica, especialmente en el contexto de la mecánica clásica) que es la sección θ de correspondiente al endomorfismo de identidad de los espacios tangentes. En el sistema de referencia e, la forma de soldadura es , donde nuevamente θi es la base dual.
La torsión de la conexión viene dada por , o en términos de las componentes del sistema de referencia de la forma de soldadura por
Asumiendo nuevamente por simplicidad que e es holonómica, esta expresión se reduce a
,
que desaparece si y solo si Γikj es simétrico en sus índices inferiores.