Las derivadas de escalares, vectores y tensores de segundo orden con respecto a los tensores de segundo orden son de considerable utilidad en mecánica de medios continuos. Estas derivadas se utilizan en las teorías de elasticidad no lineal y plasticidad, particularmente en el diseño de algoritmos de simulación.J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, Computational Inelasticity, Springer
La derivada direccional proporciona una forma sistemática de encontrar estas derivadas.J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.
Derivadas con respecto a vectores y tensores de segundo orden A continuación se dan las definiciones de derivadas direccionales para diversas situaciones. Se supone que las funciones son lo suficientemente suaves como para poder tomar derivadas.
Derivadas de funciones escalares de vectores Sea f(v) una función con valor real del vector v. Entonces, la derivada de f(v) con respecto a v (o en v) es el vector definido mediante el producto escalar con cualquier vector u
para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un escalar, y si u es un vector unitario, da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.
Propiedades: Si entonces Si entonces Si entonces
Derivadas de funciones vectoriales de vectores Sea f(v) una función con valor vectorial del vector v. Entonces la derivada de f(v) con respecto a v (o en v) es el tensor de segundo orden definido a través de su producto escalar con cualquier vector u
para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un vector, y si u es un vector unitario, da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.
Propiedades: Si entonces Si entonces Si entonces
Derivadas de funciones escalares de tensores de segundo orden Sea una función con valor real del tensor de segundo orden . Entonces, la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de segundo orden definido como
para todos los tensores de segundo orden .
Propiedades: Si entonces Si entonces Si entonces
Derivadas de funciones tensoriales de tensores de segundo orden Sea una función tensorial de segundo orden del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de cuarto orden definido como
para todos los tensores de segundo orden .
Propiedades: Si entonces Si entonces Si entonces Si entonces
Gradiente de un campo tensorial El gradiente, , de un campo tensorial en la dirección de un vector constante arbitrario c se define como:
El gradiente de un campo tensorial de orden n es un campo tensorial de orden n+1.
Coordenadas cartesianas Nota: A continuación se utiliza el convenio de suma de Einstein de índices repetidos.
Si son los vectores base en un sistema de coordenadas cartesianas, con las coordenadas de los puntos indicadas por (), entonces el gradiente del campo tensorial viene dado por
Dado que los vectores de la base no varían en un sistema de coordenadas cartesiano, tenemos las siguientes relaciones para los gradientes de un campo escalar , un campo vectorial v y un campo tensorial de segundo orden .
Coordenadas curvilíneas
Nota: A continuación se utiliza el convenio de suma de Einstein de índices repetidos.
Si son los vectores de una base contravariante en un sistema de coordenadas curvilíneas, con las coordenadas de los puntos indicadas por (), entonces el gradiente del campo tensorial viene dado por (consulteR. W. Ogden, 2000, Nonlinear Elastic Deformations, Dover. para obtener una demostración).
De esta definición se obtienen las siguientes relaciones para los gradientes de un campo escalar , un campo vectorial v y un campo tensorial de segundo orden .
donde los símbolos de Christoffel se definen usando
Coordenadas polares cilíndricas En coordenadas cilíndricas, el gradiente viene dado por
Divergencia de un campo tensorial La divergencia de un campo tensorial se define usando la relación recursiva
donde c es un vector constante arbitrario y v es un campo vectorial. Si es un campo tensorial de orden n > 1, entonces la divergencia del campo es un tensor de orden n- 1.
Coordenadas cartesianas Nota: A continuación se utiliza el convenio de suma de Einstein de índices repetidos.
En un sistema de coordenadas cartesiano se tienen las siguientes relaciones para un campo vectorial v''' y un campo tensorial de segundo orden
donde con la notación tensorial indexada para derivadas parciales se utiliza en las expresiones situadas más a la derecha. Tenga en cuenta que
Para un tensor simétrico de segundo orden, la divergencia también suele escribirse como
La expresión anterior se utiliza a veces como definición de en forma de componente cartesiano (a menudo también escrito como ). Téngase en cuenta que dicha definición no es coherente con el resto de este artículo (consúltese la sección sobre coordenadas curvilíneas).
La diferencia surge de si la diferenciación se realiza respecto de las filas o columnas de , y es convencional. Esto se demuestra con un ejemplo. En un sistema de coordenadas cartesiano, el tensor (matriz) de segundo orden es el gradiente de una función vectorial
La última ecuación es equivalente a la definición/interpretación alternativa
Coordenadas curvilíneas
Nota: A continuación se utiliza el convenio de suma de Einstein de índices repetidos.
En coordenadas curvilíneas, las divergencias de un campo vectorial v y de un campo tensorial de segundo orden son
Más generalmente,
Coordenadas polares cilíndricas En coordenadas polares cilíndricas
Rotacional de un campo tensorial El rotacional de un campo tensorial de orden n'' > 1 también se define usando la relación recursiva
donde c es un vector constante arbitrario y v es un campo vectorial.
Rotacional de un campo tensorial (vectorial) de primer orden Considérese un campo vectorial v y un vector constante arbitrario c. En notación indexada, el producto cruzado viene dado por
donde es el símbolo de permutación, también conocido como símbolo de Levi-Civita. Entonces,
Por lo tanto,
Rotacional de un campo tensorial de segundo orden Para un tensor de segundo orden
Por tanto, utilizando la definición de la curvatura de un campo tensorial de primer orden,
Por lo tanto, se tiene que
Identidades que involucran la curvatura de un campo tensorial La identidad más comúnmente utilizada que involucra la curvatura de un campo tensorial, , es
Esta identidad es válida para campos tensoriales de todos los órdenes. Para el caso importante de un tensor de segundo orden, , esta identidad implica que
Derivada del determinante de un tensor de segundo orden La derivada del determinante de un tensor de segundo orden viene dada por
En términos ortonormales, las componentes de se pueden escribir como una matriz A. En ese caso, el lado derecho corresponde a los cofactores de la matriz.
Derivadas de los invariantes de un tensor de segundo orden Los principales invariantes de un tensor de segundo orden son
Las derivadas de estos tres invariantes con respecto a son
Derivada del tensor de identidad de segundo orden Sea el tensor de identidad de segundo orden. Entonces la derivada de este tensor con respecto a un tensor de segundo orden viene dada por
Esto se debe a que es independiente de .
Derivada de un tensor de segundo orden con respecto a sí mismo Sea un tensor de segundo orden. Entonces
Por lo tanto,
Aquí es el tensor de identidad de cuarto orden. En notación indexada con respecto a una base ortonormal
Este resultado implica que
donde
Por lo tanto, si el tensor es simétrico, entonces la derivada también es simétrica y se obtiene
donde el tensor de identidad simétrico de cuarto orden es
Derivada del inverso de un tensor de segundo orden Sean y dos tensores de segundo orden, entonces
En notación indexada con respecto a una base ortonormal
También se tiene que
En notación indexada
Si el tensor es simétrico entonces
Integración por partes
Otra operación importante relacionada con las derivadas tensoriales en la mecánica continua es la integración por partes. La fórmula de integración por partes se puede escribir como
donde y son campos tensoriales diferenciables de orden arbitrario, es la unidad normal hacia afuera con respecto al dominio sobre el cual se definen los campos tensoriales, representa un operador del producto tensorial generalizado y es un operador de gradiente generalizado. Cuando es igual al tensor de identidad, se obtiene el teorema de la divergencia
Se puede expresar la fórmula de integración por partes en coordenadas cartesianas con notación indexada como
Para el caso especial donde la operación del producto tensorial es una contracción de un índice y la operación del gradiente es una divergencia, y tanto como son tensores de segundo orden, se tiene que
En notación indexada,
Véase también Derivada covariante Derivadas objetivas de la tensión Cálculo tensorial
Referencias
Categoría:Mecánica de medios continuos