El término flujo describe cualquier efecto que parece pasar o viajar (ya sea que realmente se mueva o no) a través de una superficie o sustancia. Es un concepto propio del cálculo vectorial y de la matemática aplicada, que aparece en numerosos campos de la física. Para fenómenos de transporte, el flujo es una cantidad vectorial que describe la magnitud y la dirección del flujo de una sustancia o propiedad. En cálculo vectorial el flujo es una cantidad escalar, definida como la integral de superficie de la componente perpendicular de un campo vectorial sobre una superficie.Purcell, p. 22-26
Terminología La palabra flujo proviene del latín fluxus, que significa "flujo"; y de fluere, con el significado de "fluir". El término fluxión, fue introducido en el cálculo diferencial por Isaac Newton.
El concepto de flujo de calor fue una contribución clave de Joseph Fourier en el análisis de los fenómenos de transferencia de calor. En su tratado fundamental Théorie analytique de la chaleur (La teoría analítica del calor), define el flujo como una cantidad central y procede a derivar las ahora bien conocidas expresiones de flujo en términos de diferencias de temperatura a través de una losa, y luego, de manera más general, en términos de gradientes de temperatura o diferenciales de temperatura, a través de otras geometrías. Se podría argumentar, basándose en el trabajo de James Clerk Maxwell, que la definición de transporte precede a la definición de flujo utilizada en electromagnetismo. La cita específica de Maxwell es:
Según la definición de transporte, el flujo puede ser un único vector o puede ser un campo vectorial/función de posición. En el último caso, el flujo se puede integrar fácilmente sobre una superficie. Por el contrario, según la definición de electromagnetismo, el flujo es la integral sobre una superficie. No tiene sentido integrar un flujo de acuerdo con la segunda definición, ya que sería integrar dos veces sobre una superficie. Por lo tanto, la cita de Maxwell solo tiene sentido si se utiliza la palabra flujo de acuerdo con la definición de transporte (y además es un campo vectorial en lugar de un vector único). Esto es irónico, porque Maxwell fue uno de los principales desarrolladores de los conceptos que ahora se conocen como flujo eléctrico y flujo magnético según la definición del electromagnetismo. Sus nombres de acuerdo con la cita (y la definición de transporte) serían integral de superficie de flujo eléctrico e integral de superficie de flujo magnético, en cuyo caso flujo eléctrico se definiría como campo eléctrico y flujo magnético se definiría como campo magnético. Esto implica que Maxwell concibió estos campos como flujos de algún tipo.
Dado un flujo según la definición empleada en electromagnetismo, la densidad de flujo correspondiente, si se usa ese término, se refiere a su derivada en la superficie que se integró. Según el teorema fundamental del cálculo, la densidad de flujo correspondiente es un flujo según la definición de transporte. Dada una corriente como la corriente eléctrica (carga por tiempo), la densidad de corriente también sería un flujo según la definición de transporte: carga por tiempo por área. Debido a las definiciones contradictorias de flujo y a la intercambiabilidad de flujo y corriente en el lenguaje no técnico, todos los términos utilizados en este párrafo a veces se usan indistinta y ambiguamente. En el resto de este artículo, la palabra flujo se utilizará de acuerdo con su aceptación amplia en la bibliografía, independientemente de a qué definición corresponda el término.
Flujo como caudal por unidad de área En fenómenos de transporte (como la transferencia de calor, la transferencia de masa y la fluidodinámica), el flujo se define como la tasa de paso de una propiedad por unidad de área, que tiene dimensiones [cantidad]·[tiempo]−1·[área]−1. El área es la superficie por la que la propiedad fluye a través. Por ejemplo, la cantidad de agua que fluye a través de una sección transversal de un río cada segundo dividida por el área de esa sección transversal, o la cantidad de energía solar que cae sobre una porción de terreno cada segundo dividida por el área de la porción considerada, son tipos de flujo.
Definición matemática general (transporte)
Aparecen tres definiciones en orden creciente de complejidad. Cada una es un caso especial de los que figuran a continuación. En todos ellos se utiliza el símbolo frecuente j (o J) para el flujo, q para la magnitud física que fluye, t para el tiempo y A para el área. Estos identificadores se escribirán en negrita cuando y solo cuando sean vectores.
Primero, el flujo como un escalar (único):
donde
En este caso, la superficie en la que se mide el flujo es fija y tiene un área A. Se supone que la superficie es plana y que el flujo es constante en todas partes con respecto a la posición, y perpendicular a la superficie.
En segundo lugar, el flujo como campo escalar definido en una superficie, es decir, una función de puntos en la superficie:
Como antes, se supone que la superficie es plana y que el flujo es perpendicular a ella en todas partes. Sin embargo, el flujo no tiene por qué ser constante. q es ahora una función de p, un punto en la superficie, y A, un área. En lugar de medirse el flujo total a través de la superficie, q mide el flujo a través del disco de la superficie con el área A y centrado en el punto p.
Finalmente, el flujo como campo vectorial:
En este caso, no hay ninguna superficie fija sobre la que se esté midiendo. q es función de un punto, un área y una dirección (dada por un vector unitario ) y mide el flujo a través del disco de área A perpendicular a ese vector unitario. I se define eligiendo el vector unitario que maximiza el flujo alrededor del punto, porque el flujo real se maximiza a través del disco que es perpendicular a él. Por lo tanto, el vector unitario maximiza de forma única la función cuando apunta en la verdadera dirección del flujo. Estrictamente hablando, este es un abuso de notación, porque "arg max" no puede comparar vectores directamente; en su lugar, se toma el vector con la norma más grande.
Propiedades
Estas definiciones directas, especialmente la última, son bastante difíciles de manejar. Por ejemplo, la construcción arg max es artificial desde la perspectiva de las mediciones empíricas, cuando con una veleta o similar se puede deducir fácilmente la dirección del flujo en un punto. En lugar de definir directamente el flujo vectorial, suele ser más intuitivo enunciar algunas propiedades al respecto. Además, a partir de estas propiedades se puede determinar de todos modos el flujo de forma inequívoca.
Si el flujo j pasa a través del área formando un ángulo θ con el área normal , entonces el producto escalar
Es decir, la componente del flujo que pasa a través de la superficie (es decir, normal a ella) es j cos θ, mientras que la componente del flujo que pasa tangencial al área es j sin θ, pero ningún flujo realmente pasa a través del área en dirección tangencial. El único componente del flujo que pasa normal al área es la componente del coseno.
Para el flujo vectorial, la integral de superficie de j sobre una superficie S, se obtiene el flujo normal por unidad de tiempo a través de la superficie:
donde A (y su infinitesimal) es la combinación del vector de área (producto de la magnitud del área A por la que pasa la propiedad y del vector unitario normal al área). A diferencia del segundo conjunto de ecuaciones, aquí la superficie no tiene por qué ser plana.
Finalmente, se puede integrar nuevamente durante el tiempo t1 a t2, obteniéndose la cantidad total de la propiedad que fluye a través de la superficie en ese tiempo (t2 − t1):
Flujos de transporte Ocho de las formas más comunes de flujo de la bibliografía sobre fenómenos de transporte se definen de la siguiente manera:
Flujo de momento, la tasa de transferencia de cantidad de movimiento a través de una unidad de área (N·s·m−2·s−1). (Ley de Newton de la viscosidad) Flujo de calor, la tasa de flujo de calor a través de una unidad de área (J·m−2·s−1). (Ley de Fourier de la conducción) (Esta definición de flujo de calor se ajusta a la definición original de Maxwell). Leyes de Fick, la tasa de movimiento de moléculas a través de una unidad de área (mol·m−2·s−1). (Leyes de Fick) Flujo volumétrico, la tasa de flujo de volumen a través de una unidad de área (m3·m−2·s−1). (Ley de Darcy del flujo de aguas subterráneas) Flujo de masa, la tasa de flujo de masa a través de una unidad de área (kg·m−2·s−1). (O una forma alternativa de la ley de Fick que incluye la masa molecular, o una forma alternativa de la ley de Darcy que incluye la densidad). Flujo radiante, la cantidad de energía transferida en forma de fotones a una cierta distancia de la fuente por unidad de área por segundo (J·m−2·s−1). Se utiliza en astronomía para determinar la magnitud y la clasificación estelar de una estrella. También actúa como una generalización del flujo de calor, que es igual al flujo radiante cuando se restringe al espectro electromagnético. Flujo de energía, la tasa de transferencia de energía a través de una unidad de área (J·m−2·s−1). El flujo radiante y el flujo de calor son casos específicos del flujo de energía. Flujo de partículas, la tasa de transferencia de partículas a través de una unidad de área ([número de partículas] m−2·s−1)
Estos flujos son vectores en cada punto del espacio y tienen una magnitud y dirección definidas. Además, se puede tomar la divergencia de cualquiera de estos flujos para determinar la tasa de acumulación de la cantidad en un volumen de control alrededor de un punto determinado en el espacio. Para el caso de un flujo incompresible, la divergencia del flujo de volumen es cero.
Difusión química Como se mencionó anteriormente, el flujo molar químico de un componente A en un proceso isotérmico e isobárico se define en las leyes de Fick como:
donde el símbolo nabla ∇ denota el operador gradiente, DAB es el coeficiente de difusión (m2·s−1) del componente A que se difunde a través del componente B, cA es la concentración (mol/m3) del componente A.
Este flujo tiene unidades de mol·m−2·s−1 y se ajusta a la definición original de flujo de Maxwell.
Para gases diluidos, la teoría cinética molecular relaciona el coeficiente de difusión D con la densidad de partículas n = N/V, la masa molecular m, la sección eficaz de colisión y la temperatura absoluta T por
donde el segundo factor es el camino libre medio y la raíz cuadrada (con la constante de Boltzmann k) es la velocidad media de las partículas.
En flujos turbulentos, el transporte por movimiento de remolinos se puede expresar como un coeficiente de difusión muy aumentado.
Mecánica cuántica
En mecánica cuántica, las partículas de masa m en estado cuántico ψ(r, t) tienen un densidad de probabilidad definida como
Entonces, la probabilidad de encontrar una partícula en un elemento de volumen diferencial d3r es
Entonces, el número de partículas que pasan perpendicularmente a través de la unidad de área de una sección transversal por unidad de tiempo es la probabilidad de flujo
Esto a veces se denomina corriente de probabilidad o densidad de corriente, o también densidad de flujo de probabilidad.
Flujo como integral de superficie Definición matemática general (integral de superficie)
Como concepto matemático, el flujo está representado por la integral de superficie de un campo vectorial,
donde F es un campo vectorial, y dA es el vector de área de la superficie A, dirigido como normal a la superficie. Para la segunda ecuación, n es la normal que apunta hacia afuera de la superficie.