La paradoja de la escalera (o "paradoja del poste de granero") es un experimento mental de la relatividad especial, desarrollado por Rindler (1961) a partir de las observaciones realizadas por Einstein y por Lorentz. Es un experimento mental relacionado con la paradoja de Ehrenfest.
Se trata de una escalera que viaja horizontalmente a una velocidad relativista (cercana a la velocidad de la luz, como por ejemplo, un valor del 90% o 0,9 c) paralela al suelo, y, por tanto, sufre una contracción de longitud de Lorentz. Ahora, debe imaginarse que la escalera pasa a través de las puertas delanteras y traseras (abiertas) de un garaje o granero, cuyo espacio interno es inferior a la longitud de la escalera (longitud en reposo), por lo que si la escalera no se moviera, no podría caber dentro del granero.
Para un observador estacionario, debido a la ya mencionada contracción de Lorentz, la escalera móvil podría caber completamente dentro del edificio a medida que pasa. Sin embargo, desde el punto de vista de un observador que se mueve con la escalera, ésta no se contraerá, y es el edificio el que se contraerá y tendrá una longitud menor. Esto es lo que se conoce como (parte de) la paradoja de Ehrenfest. Por lo tanto, para el observador que viaja con la escalera, esta no cabrá dentro del edificio cuando lo atraviese. Esto plantea una aparente discrepancia entre las realidades de ambos observadores.
Esta paradoja, o aparente paradoja, resulta de la errónea suposición de la existencia de una simultaneidad absoluta. Se dice que la escalera cabe en el garaje, si y solo si, ambos extremos pueden colocarse simultáneamente dentro del garaje. Esta paradoja puede resolverse cuando se considera la teoría de la relatividad especial, puesto que según esta teoría la condición de simultaneidad depende de cada observador, por lo que la respuesta a si la escalera cabe dentro del garaje o no, también depende de dónde se sitúe el punto de vista o el observador, es decir, de cada uno de ellos.
Paradoja La versión más simple de la paradoja implicaría un garaje con una puerta (delantera) y una puerta (trasera) abiertas, y una escalera que, cuando se considera en reposo con respecto al garaje sería demasiado larga para caber en su interior, y cuando se considera en movimiento para un observador externo, dado que viaja al 90% de la velocidad de la luz (c) quedaría contraída lo suficiente como para caber por completo dentro del garaje o granero mientras se mueve. Es decir, cuando movemos la escalera a alta velocidad horizontal a través del garaje estacionario, la escalera sufre el efecto relativista de contracción de longitud y se vuelve significativamente más corta debido a su alta velocidad. Como resultado, cuando la escalera pasa por el garaje, queda, durante un tiempo, completamente contenida dentro de él. Si quisiéramos, durante un breve instante podríamos cerrar simultáneamente ambas puertas para demostrar que la escalera cabe en el interior del granero.
La aparente paradoja surge a continuación, cuando se considera la simetría de la situación.
Así, un observador que se moviera con la escalera, viajaría a velocidad constante en el mismo sistema de referencia inercial de la escalera, en el que según el principio de relatividad se aplican las mismas leyes de la física.
Desde esta segunda perspectiva, la escalera es ahora la que permanecerá estacionaria, y será el garaje el que se mueve a gran velocidad (con respecto a la escalera y al observador situado sobre la escalera que viaja con ésta). Por lo tanto, es el garaje el que se contrae en longitud, y ahora concluiremos que es demasiado pequeño para haber podido contener completamente a la escalera cuando pasó: la escalera no cabe y no podremos cerrar ambas puertas a ambos lados de la escalera en un instante sin golpearla.
Esta aparente contradicción es la paradoja de la escalera de Rindler (1961). izquierda|miniaturadeimagen|266x266px| Figura 1: vista general del garaje y de la escalera en reposominiaturadeimagen|150x150px| Figura 2: en el sistema de referencia del garaje, la escalera sufre una contracción longitudinal y, por lo tanto, encajará (durante un instante) en su interiorminiaturadeimagen|150x150px| Figura 3: en el sistema de referencia de la escalera, el garaje sufre una contracción longitudinal y es demasiado pequeño para contener la escalera
Solución izquierda|miniaturadeimagen|424x424px| Figura 4: escenario desde el sistema de referencia del garaje. Una escalera de longitud contraída que atraviesa el garaje, y durante un instante cabría completamente dentro del garaje o granero miniaturadeimagen|508x508px| Figura 5: escenario desde el sistema de referencia de la escalera. Un garaje de longitud contraída que se desplaza horizontalmente, y hace pasar a la escalera por su interior. Solo podría cerrarse una de las puertas. Si se hace simultáneamente en ese instante, golpeará a la escalera en alguno de sus extremos
La solución a la aparente paradoja reside en considerar la relatividad, es decir, al aplicar la relatividad especial, se estaría considerando la relatividad de la simultaneidad: lo que un observador (por ejemplo, en el garaje) considera al observar dos acontecimientos simultáneos, en realidad puede no serlo para otro observador (por ejemplo, situado en la escalera). Cuando decimos que la escalera "cabe" dentro del garaje, lo que se indica precisamente es que, en un momento concreto, la posición de la parte trasera de la escalera y la posición de la parte delantera de la escalera estarán ambas dentro del garaje; o en otras palabras, tanto la parte delantera de la escalera como la trasera, estuvieron dentro del garaje de manera simultánea. Como es considerado anteriormente, la simultaneidad, en lugar de ser absoluta, es relativa, entonces, dos observadores pueden no estar de acuerdo sobre si la escalera encajaría completamente en un instante, dentro del garaje o no. Para un observador que se encontrara en el garaje, el extremo trasero de la escalera estaría en el garaje al mismo tiempo que el extremo delantero de la escalera, por lo que la escalera cabría. Pero para un observador que se encontrara en la escalera, sería el garaje el que se estaría desplazando horizontalmente, por lo que la escalera pasaría a ser más larga, o el garaje se encontraría en contracción, y la escalera no encajaría.
Una forma, quizás más clara de verlo, sería considerar las puertas desde el marco de referencia del garaje, las cuales se podrían cerrar en un instante, mientras la escalera al completo, estuviera dentro.
Sin embargo, desde el sistema de referencia inercial de la escalera, el primer evento es la parte frontal de la escalera, que se acerca a la puerta de salida del garaje, la puerta se cerraría, y luego se abriría para dejar pasar a la parte frontal de la escalera. Mientras, la parte trasera de la escalera habría pasado por la puerta de entrada, que se cerraría, y luego se abriría, como sucedió con la puerta de salida. Como la simultaneidad es relativa, podemos ver que no era necesario cerrar las dos puertas al mismo tiempo, sino solo la de salida, y la escalera no necesitaba caber dentro del garaje (desde un punto de vista de simultaneidad absoluto).
Esta situación puede ilustrarse mejor, con el siguiente diagrama: diagrama de Minkowski.
El esquema se posiciona en el marco en reposo del garaje. La banda vertical (de color azul claro) muestra el garaje en el espacio-tiempo y la banda de color rojo claro, muestra la escalera en el espacio-tiempo. Los ejes x y t son el espacio del garaje y los ejes del tiempo, respectivamente, y x′ y t′ son, en cambio, los ejes del espacio y del tiempo de la escalera, respectivamente.
En el marco del garaje, la escalera puede estar representado por un conjunto de puntos en el eje horizontal, paralelos al eje x, en la banda roja. Un ejemplo es el segmento de línea azul (en negrita), que se encuentra dentro de la banda azul claro, que representa al garaje y que representa a la escalera en un momento en que está completamente dentro del garaje. Sin embargo, desde el marco de la escalera, los conjuntos de eventos simultáneos se encontrarían en líneas paralelas al eje x' por lo que, la escalera, en cualquier momento específico puede estar representada por una sección transversal de dicha línea con la banda roja.
Un ejemplo de ello sería el segmento de línea roja en negrita. Aquí veremos que, dichos segmentos de línea, nunca se encuentran completamente dentro de la banda azul claro. Es decir, la escalera nunca quedaría completamente dentro del garaje. centro|miniaturadeimagen|325x325px| Figura 6: Diagrama de Minkowski de la paradoja de la escalera. El garaje está representado en azul claro y la escalera en rojo claro. El diagrama está en el marco en reposo del garaje, siendo x y t los ejes de espacio del garaje y tiempo, respectivamente. El marco de la escalera será el de una persona sentada en la parte delantera de la escalera, siendo x ′ y t ′ los ejes de espacio y tiempo de la escalera, respectivamente. Las líneas azul y roja, AB y AC, representan la escalera en el momento en que su extremo frontal se encuentra con la puerta de salida del garaje, en el marco de referencia del garaje y la escalera, respectivamente. El evento D es el extremo trasero de la escalera que llega a la entrada del garaje.
Cerrando la escalera en el garaje izquierda|miniaturadeimagen|143x143px| Figura 7: una escalera que se contrae bajo aceleración para caber en un garaje de longitud relativamente reducida (contraída). En una versión más compleja de la paradoja, se puede atrapar físicamente la escalera, una vez se encuentre completamente dentro del garaje (en desplazamiento a una velocidad cercana a la de la velocidad de la luz).
Por ejemplo, si no se vuelve a abrir la puerta después de cerrarla (aunque asumimos que en el marco del garaje, la puerta de salida es inamovible).
De esa forma, cuando la parte frontal de la escalera golpeara la puerta de salida, diríamos que se detiene instantáneamente.
En ese momento, la puerta de entrada también se habría cerrado, por lo que la escalera quedaría atrapada dentro del garaje. Su velocidad relativa en ese instante sería 0, por lo que no se contrae en longitud, y ahora sería más largo que el garaje: tendrá que doblarse, romperse, o estallar en fragmentos (ver paradoja de Ehrenfest).
Aquí surge una vez más, el enigma de considerar la situación desde el marco de referencia de la escalera. Como vimos en el análisis anterior, en su propio marco de referencia (un observador viajando con la escalera o situado sobre la escalera), la escalera siempre fue más larga que el garaje.
Entonces, ¿cómo podríamos cerrar las puertas y atraparla dentro?
Quizás aquí puede valer la pena señalar que hemos deducido, considerando la estructura del garaje, que efectivamente atrapamos a la escalera dentro del garaje, lo cual es una propiedad o característica general, de la relatividad. Por lo tanto, se podría pensar que esto es cierto en cualquier marco de referencia: no puede darse el caso en el que la escalera encajara en un marco pero no lo hiciera en otro. Así, desde el marco de referencia de la escalera, se tiende a pensar que debe haber alguna explicación de cómo la escalera quedó atrapada; simplemente debemos aún encontrar la explicación.
La explicación que surge puede ser tal que, aunque todas las partes de la escalera desaceleren hasta 0 en el marco de referencia del garaje, dado que la simultaneidad es relativa, la correspondiente desaceleración en el marco de la escalera no es simultánea con la del marco del garaje. Por el contrario, cada parte de la escalera desacelerará de manera secuencial.
De esta forma, la velocidad de la escalera se irá reduciendo desde su parte frontal, a su parte posterior, hasta que finalmente la parte final de la escalera desacelere, a partir de la cual el tiempo se encuentra ya dentro del marco del garaje.