En matemáticas, los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden verse como una generalización del espacio euclídeo de dimensión finita, con los que comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, son bastante diferentes de los espacios de Hilbert, otra generalización de los espacios euclídeos de dimensión finita. Fueron presentados por Alexander Grothendieck.

La topología de los espacios nucleares se puede definir mediante una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en algún sentido tienden a ser espacios nucleares. Un ejemplo típico de un espacio nuclear es el conjunto de las funciones infinitamente diferenciables en una variedad compacta. Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No hay espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, a menudo se presenta una especie de caso contrario: si un espacio vectorial topológico "que aparece naturalmente" es un espacio de Banach, entonces es muy probable que sea un espacio nuclear.

Motivación original: el teorema del núcleo de Schwartz

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz, trabajo publicado en 1955.

Para cualquier subconjunto abierto y la aplicación canónica es un isomorfismo de EVTs (donde tiene topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados) y, además, ambos espacios son canónicamente EVTs-isomorfos a (donde, dado que es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y el producto tensorial proyectivo). En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que:

donde todos estos espacios vectoriales topológicos son canónicos.

Este resultado es falso si se reemplaza el espacio por (que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y se reemplaza por el dual de este espacio . ¿Por qué un resultado con tantas posibilidades es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para el espacio de Hilbert (que generalmente se considera uno de los EVTs "con mejor comportamiento")? Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir los espacios nucleares, las aplicaciones nucleares y el producto tensorial inyectivo.

Motivaciones geométricas

Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente de la geometría y de la teoría de variedades suavesappendix 2. Dadas las variedades suaves y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares

Definición

Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de espacio nuclear. Las definiciones siguientes son todas equivalentes. Téngase en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet (esto significa que el espacio está completo y la topología está dada por una familia de seminormas ).

Grothendieck utilizó la siguiente definición para caracterizar los espacios nucleares:

Definición 0: Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces, es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo el espacio vectorial canónico que incluye es un embebido de un EVT cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio es el producto tensorial proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado en dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos).

En primer lugar se recuerdan algunos antecedentes. Un espacio localmente convexo tiene una topología definida por alguna familia de seminormas. Para cualquier seminorma, la bola unitaria es un entorno simétrico convexo cerrado del origen y, a la inversa, cualquier entorno simétrico convexo cerrado de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma (para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrico" debe reemplazarse por "equilibrado").

Si es una seminorma en entonces denota el espacio de Banach dado por completación y el espacio normado auxiliar usando la seminorma Existe una aplicación natural (no necesariamente inyectiva).

Si es otra seminorma, mayor que (puntualmente como una función en ), entonces existe una aplicación natural de a tal que la primera aplicación factoriza Estas aplicaciones son siempre continuas. El espacio es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estas aplicaciones son operadores nucleares. La condición de ser un operador nuclear es sutil, y en el artículo correspondiente hay más detalles disponibles.

Definición 1: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma se puede encontrar una seminorma más grande de modo que la aplicación natural sea nuclear.

Informalmente, esto significa que siempre que se considera la bola unitaria de alguna seminorma, se puede encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier entorno de 0 contiene un entorno "mucho más pequeño". No es necesario verificar esta condición para todas las seminormas , y basta con comprobar si hay un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una subbase para la topología.

En lugar de utilizar espacios de Banach y operadores nucleares arbitrarios, se puede dar una definición en términos de espacios de Hilbert y de operadores de clase de traza, que son más fáciles de entender (en los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clase de traza).

Se dice que una seminorma es una seminorma de Hilbert si es un espacio de Hilbert, o de manera equivalente, si proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en

Definición 2: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert se puede encontrar una seminorma de Hilbert más grande, por lo que la aplicación natural de a es un operador de clase de traza.

Algunos autores prefieren utilizar el operador de Hilbert–Schmidt en lugar de operadores de clase de traza. La diferencia es pequeña, porque cualquier operador de clase de traza es de Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase de traza.

Definición 3: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert se puede encontrar una seminorma de Hilbert más grande, por lo que la aplicación natural de a es de Hilbert-Schmidt.

Si se opta por utilizar el concepto de operador nuclear desde un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario a un espacio de Banach, se pueden dar definiciones más breves como las siguientes:

Definición 4: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma la aplicación natural de es un nuclear.

Definición 5: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear.

Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:

Definición 6: un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo la aplicación natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de y es un isomorfismo.

De hecho, es suficiente comprobar esto solo para los espacios de Banach o incluso solo para el único espacio de Banach de series absolutamente convergentes.

Caracterizaciones Sea un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: es nuclear. Para cualquier espacio localmente convexo la inclusión del espacio vectorial canónico es una inclusión de un EVT cuya imagen es densa en el codominio. Para cualquier espacio de Banach el espacio vectorial canónico que incorpora es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT. Para cualquier espacio de Hausdorff localmente convexo el espacio vectorial canónico que embebe a es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT. La inclusión canónica de en es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT. La aplicación canónica de es un isomorfismo sobreyectivo de un EVT. Para cualquier seminorma se puede encontrar una seminorma más grande , de modo que la aplicación natural sea nuclear. Para cualquier seminorma se puede encontrar una seminorma más grande para que la inyección canónica sea nuclear. La topología de está definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert se puede encontrar una seminorma de Hilbert más grande, de modo que la aplicación natural sea un operador de clase de traza. tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de manera que para cualquier seminorma de Hilbert se puede encontrar una seminorma de Hilbert más grande, y de modo que la aplicación natural sea de Hilbert-Schmidt. Para cualquier seminorma , la aplicación natural de es nuclear. Cualquier aplicación lineal continua a un espacio de Banach es nuclear. Cada seminorma continua en es prenuclear. Cada subconjunto equicontinuo de es prenuclear. Cada aplicación lineal desde un espacio de Banach hacia que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear. La completación de es un espacio nuclear.

Si es un espacio de Fréchet, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: es nuclear. Cada secuencia sumable en es absolutamente sumable. El dual fuerte de es nuclear.

Condiciones suficientes Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y solo si su completación es nuclear. Cada subespacio de un espacio nuclear es nuclear. Cada espacio del cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear. El límite inductivo de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear. La suma directa localmente convexa de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear. El dual fuerte de un espacio nuclear de Fréchet es nuclear. En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear. Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear. El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear. El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear. La completación de un espacio nuclear es nuclear (y de hecho un espacio es nuclear si y solo si su completación es nuclear). El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear. El producto tensorial proyectivo (así como su completación), de dos espacios nucleares es nuclear.

Supóngase que y son espacios localmente convexos y que es nuclear. Si es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas dotado de la topología de convergencia simple es un espacio nuclear. Si es un espacio espacio semirreflexivo cuyo dual fuerte es nuclear, y si es nuclear, entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas (dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ) es un espacio nuclear.

Ejemplos

Si es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces y (con topología producto) son ambos espacios nucleares.

Un ejemplo de dimensión infinita relativamente simple de un espacio nuclear es el espacio de todas las sucesiones ("rápidamente decrecientes" significa que está acotado para cualquier polinomio ). Para cada número real es posible definir una norma mediante