En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una aplicación casi abierta entre espacios topológicos es una función que satisface una condición similar, pero más débil, a la condición de ser una aplicación abierta. Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos, sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.

Definiciones

Dada un aplicación sobreyectiva , un punto se llama para ; y se dice que es (o ) si para cada entorno abierto de , es un entorno de ) en (téngase en cuenta que no es necesario que el entorno sea ).

Un aplicación sobreyectiva se denomina si está abierta en cada punto de su dominio, mientras que se denomina cuando cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura. Explícitamente, se dice que un aplicación sobreyectiva es abierta si por cada , existe algún tal que esté abierto en . Cada sobreyección casi abierta es necesariamente una (concepto introducido por Alexander Arhangelskii en 1963), lo que por definición significa que para cada y cada entorno de (es decir, ), es necesariamente un entorno de .

Aplicación lineal casi abierta

Un aplicación lineal entre dos espacios vectoriales topológicos (EVT) se llama si para cualquier entorno de en , el cierre de en es un entorno del origen. Es importante destacar que algunos autores utilizan una definición diferente de "aplicación casi abierta", en la que, en cambio, requieren que la aplicación lineal satisfaga que: para cualquier vecindad de en , el cierre de en (en lugar de en ) es un entorno del origen. En este artículo no se utilizará esta definición.

Si una aplicación lineal es casi abierta, entonces debido a que es un subespacio vectorial de que contiene un entorno del origen en , la aplicación es necesariamente una función sobreyectiva. Por este motivo, muchos autores exigen la sobreyectividad como parte de la definición de "casi abierto".

Si es un operador lineal biyectivo, entonces es casi abierto si y solo si es casi continuo.

Relación con las aplicaciones abiertas

Cada aplicación abierta sobreyectiva es también casi abierta, pero en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyección es un aplicación casi abierta, entonces será abierta si satisface la siguiente condición (una condición que hace que dependa de la topología de ):

Siempre que pertenezca a la misma fibra de (es decir, ), entonces para cada entorno de , existe alguna vecindad de tal que . Si la aplicación es continua, entonces la condición anterior también es necesaria para que sea abierta. Es decir, si es una sobreyección continua, entonces es una aplicación abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior.

Teoremas de aplicación abierta

Teorema: Si es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo a un espacio barrilado , entonces es casi abierta.

Teorema: Si es un operador lineal sobreyectivo de un EVT a un espacio de Baire , entonces es casi abierto.

Los dos teoremas anteriores requieren que la aplicación lineal sobreyectiva satisfaga .

Teorema: Si es un EVT pseudometrizable completo, es un EVT de Hausdorff y es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces es un aplicación abierta.

Teorema: Supóngase que es un operador lineal continuo desde un EVT pseudometrizable completo a un EVT de Hausdorff . Si la imagen de no es exigua en , entonces es una aplicación abierta sobreyectiva e es un espacio metrizable completo.

Véase también Conjunto casi abierto Espacio barrilado Teorema de la inversa acotada Grafo cerrado Teorema de la gráfica cerrada Conjunto abierto Funciones abiertas y cerradas Teorema de la función abierta (también conocido como teorema de Banach-Schauder) Aplicación casi abierta Sobreyección de espacios de Fréchet Espacio reticulado

Referencias

Bibliografía

Categoría:Espacios vectoriales topológicos