En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico (EVT) metrizable (o en su caso, pseudometrizable) es un EVT cuya topología es inducida por una métrica (o en su caso alternativo, por una pseudométrica). Un espacio LM es un límite directo de una secuencia de EVT metrizables localmente convexos.
Pseudométricas y métricas
Una pseudométrica en un conjunto es una aplicación que satisface las siguientes propiedades: ; Simetría: ; Subaditividad: .
Una pseudométrica se denomina métrica si satisface: Identidad de los indiscernibles: para todo , si entonces .
Ultrapseudométrico
Una aplicación pseudométrica en se denomina ultrapseudométrica o pseudométrica fuerte si satisface: Fuerte/Desigualdad triangular ultramétrica: .
Espacio pseudométrico
Un espacio pseudométrico es un par que consta de un conjunto y de una pseudométrica en tal que la topología de es idéntica a la topología en inducida por . Se denomina a un espacio pseudométrico un espacio métrico (respectivamente, espacio ultrapseudométrico) cuando es una métrica (respectivamente, una ultrapseudométrica).
Topología inducida por una pseudométrica
Si es una pseudométrica en un conjunto , entonces una colección de bolas abiertas: , ya que abarca y abarca los números reales positivos, y forma una base para una topología en que se llama -topología o topología pseudométrica en inducida por .
: Si es un espacio pseudométrico y se trata como un espacio topológico, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que está dotado de la topología inducida por .
Espacio pseudometrizable
Un espacio topológico se denomina pseudometrizable (respespectivamente, metrizable, ultrapseudometrizable) si existe un pseudométrico (respespectivamente, métrico, ultrapseudométrico) en tal que es igual a la topología inducida por .
Pseudométricas y valores sobre grupos topológicos
Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, denominada topología de grupo, bajo la cual la suma y la negación se convierten en operadores continuos.
Una topología en un espacio vectorial real o complejo se denomina topología vectorial o topología EVT si hace que las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si convierte en un espacio vectorial topológico).
Cada espacio vectorial topológico (EVT) es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo en son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial puede no lograr que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, una topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no hace que la multiplicación escalar sea continua.
Pseudométricas invariantes con respecto a la traslación
Si es un grupo aditivo, entonces se dice que una pseudométrica en es invariante a la traslación o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: Simetría traslacional: ; .
Valor/G-seminorma
Si es un grupo topológico, un valor o G-seminorma en (la G significa grupo) es una aplicación sobre valores reales con las siguientes propiedades: No negativa: Subaditiva: . Simétrica:
donde se denomina G-seminorma a una g-norma si satisface la condición adicional: Total/Positiva definida: Si entonces
Propiedades de los valores
Si es un valor en un espacio vectorial , entonces: . y para todo y enteros positivos . El conjunto es un subgrupo aditivo de .
Equivalencia en grupos topológicos
Grupos topológicos pseudometrizables
Pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial
Sea un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir, ) y sea la métrica trivial invariante de traslación en definida por y tal que . La topología que induce en es discreta, lo que convierte a en un grupo topológico conmutativo respecto a la suma, pero forma una topología vectorial en porque es no conexo, aunque cada topología vectorial sea conexa. Esta circunstancia es debida a que la multiplicación escalar no es continua en .
Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante a la traslación es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que lleva a definir paranormas y seminormas F.
Secuencias aditivas
Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditiva si para cada , existe algún tal que .
En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las secuencias aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente conveniente de que definen funciones subaditivas continuas y no negativas de valor real. En consecuencia, estas funciones se pueden usar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también mostrar que un EVT de Hausdorff con una base contable de entorno es metrizable. El siguiente teorema es cierto de manera más general para los grupos topológicos aditivos conmutativos.
Paranormas
Si es un espacio vectorial sobre los números reales o los complejos, entonces una paranorma en es una G-seminorma (definida anteriormente) en que satisface cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias en y todas las secuencias convergentes de escalares ": Continuidad de la multiplicación: si es un escalar y son tales que y , entonces . Ambas condiciones: si y si es tal que , entonces ; si entonces para cada escalar . Ambas condiciones: si y para algún escalar , entonces ; si entonces . Continuidad separada: si para algún escalar, entonces para cada ; si es un escalar, , y , entonces .
Una paranorma se llama total si además satisface que: Total/Positivo definido: implica .
Propiedades de las paranormas
Si es una paranorma en un espacio vectorial , entonces la aplicación definida por es una pseudométrica invariante de traslación en , que define una en .
Si es una paranorma en un espacio vectorial , entonces: el conjunto es un subespacio vectorial de . con . Si una paranorma satisface que y los escalares , entonces es absolutamente homogénea (es decir, se mantiene la igualdad) y, por lo tanto, es una seminorma.
Ejemplos de paranormas
Si es una pseudométrica invariante de traslación en un espacio vectorial que induce una topología vectorial en (es decir, es un EVT), entonces la aplicación define una paranorma continua en . Además, la topología que esta paranorma define en es . Si es una paranorma en , entonces también lo es la aplicación . Cada múltiplo escalar positivo de una paranorma (o paranorma total) es nuevamente una paranorma (o, respectivamente, una paranorma total). Cada seminorma es una paranorma. La restricción de una paranorma (o paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (o, respectivamente, una paranorma total). La suma de dos paranormas es una paranorma. Si y son paranormas en , entonces también lo es . Además, y , lo que convierte el conjunto de paranormas en en un retículo condicionalmente completo. Cada una de las siguientes aplicaciones de valor real son paranormas en :
Las aplicaciones de valor real y son una paranorma en . Si es una base en un espacio vectorial , entonces la aplicación de valor real que hace corresponder (donde todos menos un número finito de los escalares son 0) a es una paranorma en , que satisface para todos los y los escalares . La función es una paranorma en que es equilibrada pero, sin embargo, es equivalente a la norma habitual en . Téngase en cuenta que la función es subaditiva. Sea un espacio vectorial complejo y denótese por a considerado como un espacio vectorial sobre . Cualquier paranorma en es también una paranorma en . <li>
F-seminormas
Si es un espacio vectorial sobre los números reales o los complejos, entonces una F-seminorma en (la letra hace referencia a Fréchet) es una aplicación de valor real con las siguientes cuatro propiedades: <ol> No negativo: .</li> 'Subaditivo: para todos los 'Equilibrado: para todos los escalares que satisfacen Esta condición garantiza que cada conjunto de la forma o para algún sea un conjunto equilibrado. Por cada , como La secuencia puede ser reemplazada por cualquier secuencia positiva que converja al cero.</ol>
Una seminorma F se denomina norma F' si además satisface: Total/Positiva definida: implica .
Una seminorma F se llama monótona si satisface: Monótona: para todos los distintos de cero y todos los y reales de modo que .
Espacios F-seminormados
Un F-espacio seminormado (o F-espacio normado) es un par que consta de un espacio vectorial y una F-seminorma (o respectivamente, F-norma) en .
Si y son espacios F seminormados, entonces una aplicación se llama embebido isométrico' si .
Cada embebido isométrico de un espacio seminormado F en otro es un embebido topográfico, pero lo contrario no es cierto en general.
Ejemplos de F-seminormas
Cada múltiplo escalar positivo de una F-seminorma (o respectivamente F-norma o seminorma) es nuevamente una F-seminorma (o respectivamente, F-norma o seminorma). La suma de un número finito de F-seminormas (o respectivamente F-normas) es una F-seminorma (o respectivamente, una F-norma). Si y son F-seminormas en , entonces también lo es su supremo puntual . Lo mismo ocurre con el supremo de cualquier familia finita no vacía de F-seminormas en . La restricción de una F-seminorma (o respectivamente, F-norma) a un subespacio vectorial es una F-seminorma (o respectivamente, una F-norma). Una función de valor real no negativo en es una seminorma si y solo si es una F-seminorma convexa, o de manera equivalente, si y solo si es una G-seminorma convexa equilibrada. En particular, cada seminorma es una F-seminorma. Para cualquier , la aplicación en definida por
es una F-norma, pero que no es una norma. Si es una aplicación lineal y si es una F-seminorma en , entonces es una F-seminorma en . Sea un espacio vectorial complejo y denótese como un considerado como un espacio vectorial sobre . Cualquier F-seminorma en también es una F-seminorma en .
Propiedades de las seminormas F
Cada seminorma F es una paranorma y cada paranorma es equivalente a alguna seminorma F. Cada seminorma F en un espacio vectorial es un valor en . En particular, , y para todo .
Topología inducida por una seminorma única F
Topología inducida por una familia de seminormas F
Supóngase que es una colección no vacía de seminormas F en un espacio vectorial y para cualquier subconjunto finito y cualquier , sea .
El conjunto forma una base de filtro en que también forma una base de entorno en el origen para una topología vectorial en denotada por .. Cada es un subconjunto equilibrado y absorbente de .. Estos conjuntos satisfacen que .
es la topología vectorial más aproximada en , lo que hace que cada sea continuo. es de Hausdorff si y solo si para cada distinto de cero, existe algún tal que . Si es el conjunto de todas las seminormas F continuas en , entonces . Si es el conjunto de todos los supremos puntuales de subconjuntos finitos no vacíos de de , entonces es una familia dirigida de seminormas F y .
Combinación de Fréchet
Supóngase que es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial .
La combinación de Fréchet de se define como la aplicación de valor real .
Como una F-seminorma
Supóngase que es una secuencia creciente de seminormas en y sea la combinación de Fréchet de . Entonces, es una F-seminorma en que induce la misma topología localmente convexa que la familia de seminormas.
Dado que es creciente, una base de entornos abiertas del origen consta de todos los conjuntos de la forma , ya que abarca todos los números enteros positivos y abarca todos los números reales positivos.
La pseudométrica invariante a la traslación sobre inducida por esta F-seminorma es
.