En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, un conjunto absorbente en un espacio vectorial es aquel conjunto que puede ampliarse para finalmente incluir siempre cualquier punto dado del espacio vectorial. Un término alternativo es conjunto radial. Cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico es un subconjunto absorbente.

Definición

Notación para escalares

Supóngase que es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o de los números complejos , y para cualquier , sea

denota la bola abierta (respectivamente, la bola cerrada) de radio en centrada en .

Ahora, se define el producto de un conjunto de escalares sobre un conjunto de vectores como , y se define el producto de con un solo vector como .

Preliminares

Núcleo equilibrado y envolvente equilibrada

Se dice que un subconjunto de es si para todos los y todos los escalares que satisfacen que . Esta condición se puede escribir de forma más sucinta como , y se cumple si y solo si .

Dado un conjunto , el conjunto equilibrado más pequeño que contiene a , denotado por , se denomina de , mientras que el conjunto equilibrado más grande contenido dentro de , denotado por , se denomina de . Estos conjuntos están dados por las fórmulas

y

(estas fórmulas muestran que la envolvente equilibrada y el núcleo equilibrado siempre existen y son únicos). Un conjunto está equilibrado si y solo si es igual a su envolvente equilibrada () o a su núcleo equilibrado (), en cuyo caso los tres conjuntos son iguales: .

Si es cualquier escalar, entonces

mientras que si es distinto de cero o si , entonces también

.

Absorción de un conjunto por otro

Si y son subconjuntos de , entonces se dice que a si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: Definición: Existe un real tal que para cada escalar que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, para algún . Si el cuerpo escalar es , entonces intuitivamente, " absorbe a " significa que si se "aumenta" o "extiende" indefinidamente (refiriéndose a como ), entonces (para todos los positivos lo suficientemente grandes), todos los quedan contenidos en ; y de manera semejante, también debe contener finalmente a para todos los negativos de magnitud suficientemente grande. Esta definición depende de la norma canónica del cuerpo escalar subyacente (es decir, del valor absoluto ), lo que vincula esta definición a la topología euclídea habitual en el cuerpo escalar. En consecuencia, la definición de conjunto absorbente (que se proporciona a continuación) también está ligada a esta topología. Existe un real tal que para cadaEl requisito de que el escalar sea distinto de cero no se puede eliminar de esta caracterización. escalar distinto de cero que satisfaga que . O dicho de manera más sucinta, para algún . Debido a que esta unión es igual a , donde es la bola cerrada con el origen eliminado, esta condición puede reformularse como: para algunos . La desigualdad no estricta , se puede reemplazar con la desigualdad estricta , que es la siguiente caracterización. Existe un real tal que para cada escalar distinto de cero que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, para algún . Aquí es la bola abierta con el origen eliminado y .

Si es un conjunto equilibrado, esta lista se puede ampliar para incluir: Existe un escalar distinto de cero tal que . Si , entonces se puede eliminar el requisito . Existe un escalar distinto de cero tal que .

Si (una condición necesaria para que sea un conjunto absorbente o sea un entorno del origen en una topología), entonces esta lista se puede ampliar para incluir: Existe tal que para cada escalar que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, . Existe tal que para cada escalar que satisfaga . O dicho de manera más sucinta, . La inclusión equivale a (desde ). Debido a , esto se puede reescribir como , lo que da la siguiente declaración. Existe tal que . Existe tal que . Existe tal que . Las siguientes caracterizaciones se derivan de las anteriores y del hecho de que para cada escalar , el envolvente equilibrada de satisface que y (desde ) su núcleo equilibrado satisface que . Existe tal que . En otras palabras, un conjunto es absorbido por si está contenido en algún múltiplo escalar positivo del núcleo equilibrado de . Existe tal que . Existe un escalar tal que . En otras palabras, se puede escalar para contener la envolvente equilibrada de . Existe un escalar tal que . Existe un escalar tal que . En otras palabras, se puede escalar para que su núcleo equilibrado contenga a . Existe un escalar tal que . Existe un escalar distinto de cero tal que . En otras palabras, el núcleo equilibrado de contiene algún múltiplo escalar distinto de cero de .

Si es o , esta lista se puede ampliar para incluir: absorbe (de acuerdo con cualquier condición definitoria de "absorber" distinta de ésta). En otras palabras, puede ser reemplazado por en las caracterizaciones anteriores si es (o trivialmente, si se da el caso de que ).

Absorción de un punto por un conjunto

Se dice que un conjunto absorbe un punto si absorbe el conjunto unitario . Un conjunto absorbe el origen si y solo si contiene el origen; es decir, si y solo si . Como se detalla a continuación, se dice que un conjunto es si absorbe todos los puntos de .

Esta noción de que un conjunto absorbe a otro también se utiliza en otras definiciones: Un subconjunto de un espacio vectorial topológico se llama si es absorbido por todos los entornos del origen. Un conjunto se llama si absorbe a todos los subconjuntos acotados.

Primeros ejemplos

Cada conjunto absorbe el conjunto vacío, pero el conjunto vacío no absorbe ningún conjunto que no esté vacío. El conjunto de un solo punto que contiene el origen es el único subconjunto de un punto que se absorbe a sí mismo.

Supóngase que es igual a o . Si es la circunferencia unidad (centrada en el origen ) junto con el origen, entonces es el único conjunto no vacío que absorbe . Además, existe un subconjunto no vacío de que sea absorbido por la circunferencia unitaria . En contraste, cada entorno del origen absorbe cada subconjunto acotado de (y, por lo tanto, en particular, absorbe cada subconjunto formado por un único punto).

Conjunto absorbente Un subconjunto de un espacio vectorial sobre un cuerpo se denomina de y se dice que es absorbente en si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (aquí ordenadas de modo que cada condición sea una consecuencia sencilla de la anterior, empezando por la definición): Definición: absorbe cada punto de es decir, para cada , absorbe . Entonces, en particular, no puede ser absorbente si . Todo conjunto absorbente debe contener el origen. absorbe cada subconjunto finito de . Para cada , existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga . Para cada , existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga . Para cada , existe un real tal que . Aquí es la bola abierta de radio en el cuerpo escalar centrada en el origen y . Se puede utilizar la bola cerrada en lugar de la bola abierta. Debido a , la inclusión se cumple si y solo si . Esto prueba la siguiente afirmación: Para cada , existe un real tal que , donde . Conexión a la topología: Si a se le da su habitual topología euclídea de Hausdorff, entonces el conjunto es un entorno del origen en , por lo tanto, existe un real tal que si y solo si es un entorno del origen en . En consecuencia, satisface esta condición si y solo si para cada , es un entorno de en cuando a se le da la topología euclídea. De lo anterior se obtiene la siguiente caracterización: Las únicas topologías EVT en un espacio vectorial unidimensional son la topología trivial (no de Hausdorff) y la topología euclídea de Hausdorff. Cada subespacio vectorial unidimensional de tiene la forma para algún y si este espacio unidimensional está dotado de la (única) topología vectorial de Hausdorff, entonces la aplicación definida por es necesariamente un espacio vectorial topológico (donde, como de costumbre, está dotado de su topología euclídea estándar inducida por la distancia euclídea). contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de , es un entorno del origen en cuando a se le da su topología vectorial única de Hausdorff. Conexión con las topologías de los espacios vectoriales: Esta condición da una idea de por qué cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico (EVT) es necesariamente absorbente: si es un entorno del origen en un EVT , entonces por cada subespacio vectorial 1-dimensional , es un entorno del origen en cuando está dotado de la topología del subespacio inducida en él por . Esta topología de l subespacio es siempre una topología vectorialUna topología en un espacio vectorial se llama o si hace que la suma vectorial y la multiplicación escalar sean continuas cuando al cuerpo escalar se le da su norma inducida por la topología euclídea habitual (esa norma es el valor absoluto ). Dado que las restricciones de funciones continuas también son continuas, si es un subespacio vectorial de un EVT , las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de también serán continuas. Por lo tanto, la topología del subespacio que cualquier subespacio vectorial hereda de un EVT volverá a ser una topología vectorial. y debido a que es unidimensional, las únicas topologías vectoriales que contiene son la topología euclídea de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclídea.

Entonces, independientemente de cuál de estas topologías vectoriales esté en , el conjunto será un entorno del origen en con respecto a su topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclídea).Si es un entorno del origen en un EVT , entonces sería ilógico si existiera cualquier subespacio vectorial unidimensional en el que no fuera un entorno del origen en al menos topología EVT en . Las únicas topologías EVT en son la topología euclídea de Hausdorff y la topología trivial, que es un subconjunto de la topología euclídea. En consecuencia, este problema no se produce si y solo si es un entorno de en la topología euclídea para los subespacios vectoriales unidimensionales de , que es exactamente la condición de que esté absorbido en . El hecho de que todos los entornos del origen en todas las EVT sean necesariamente absorbentes significa que este comportamiento ilógico no se producee.

Por lo tanto, es absorbente. La razón por la que se distingue la topología euclídea en esta caracterización se debe en última instancia al requisito definitorio de las topologías EVT de que la multiplicación escalar sea continua cuando al cuerpo escalar se le da esta topología (euclídea). contiene el origen y para cada subespacio vectorial unidimensional de , es absorbente en . Aquí absorber se puede considerar según cualquier condición definitoria distinta de ésta. Esta caracterización muestra que la propiedad de ser absorbente en depende de cómo se comporta con respecto a subespacios vectoriales de 1 (o 0) dimensiones de . Por el contrario, si un subespacio vectorial de dimensión finita de tiene dimensión y está dotado de su topología EVT única de Hausdorff, entonces ya no es absorbente en , condición suficiente para garantizar que sea un entorno del origen en (aunque seguirá siendo una condición necesaria). Para que esto suceda, basta con que sea un conjunto absorbente que también sea convexo, equilibrado y cerrado en (dicho conjunto se llama y será un entorno del origen en porque como todo espacio euclídeo de dimensión finita, es un espacio abarrilado).

Si entonces a esta lista se puede agregar: El interior algebraico de contiene el origen (esto es, ).

Si es equilibrado, se puede agregar a esta lista: Para cada , existe un escalar tal que (o equivalentemente, tal que ). Para cada , existe un escalar tal que .

Si es convexo o equilibrado, entonces a esta lista se puede agregar: Para cada , existe un real positivo tal que .