mini|Teselado cuadrado regular mini|Teselado hexagonal regular
En geometría, un teselado uniforme es un tipo de teselado del plano mediante polígonos regulares, que deben ser necesariamente vértice transitivos.
Pueden existir teselados uniformes tanto en el plano euclídeo como en plano hiperbólico. Los teselados uniformes están relacionados con el poliedros uniformes finitos, que pueden considerarse teselados uniformes de la esfera.
La mayoría de los teselados uniformes se pueden generar a partir de una construcción de Wythoff, comenzando con un grupo de simetría y un punto generador singular dentro de dominio fundamental. Un grupo de simetría plana tiene un dominio fundamental poligonal y puede representarse mediante el nombre del grupo denotado a su vez por el orden de los espejos en vértices secuenciales.
Un triángulo de dominio fundamental es (p q r), y un triángulo rectángulo (p q 2), donde p, q, r son números enteros mayores que 1. El triángulo puede ser esférico, un triángulo plano euclídeo o un triángulo plano hiperbólico, dependiendo de los valores de p, q y r.
Existen varias clases de símbolos para denominar a estas figuras, a partir de un símbolo de Schläfli modificado para dominios de triángulos rectángulos: (p q 2) → {p, q}. El diagrama de Coxeter-Dynkin es un gráfico triangular con p, q, r etiquetados en las aristas. Si r = 2, la gráfica es lineal, ya que los nodos del dominio de orden 2 no generan reflexiones. El símbolo de Wythoff toma los 3 números enteros y los separa por una barra vertical (|). Si el punto del generador está fuera del espejo opuesto a un nodo de dominio, se indica antes de la barra.
Finalmente, los teselados se pueden describir por su configuración de vértices, la secuencia de polígonos alrededor de cada vértice.
Todos los teselados uniformes se pueden construir a partir de varias operaciones aplicadas a los teselados regulares. Estas operaciones, según la nomenclatura ideada por Norman Johnson, se denominan truncamiento (cortado de vértices), rectificación (cortado de vértices hasta hacer desaparecer las aristas originales) y canteado (cortado de aristas). El omnitruncamiento es una operación que combina truncamiento y canteado. El achatado es una operación de truncamiento alternado de la forma omnitruncada (véase poliedro uniforme para obtener más detalles).
Grupos de Coxeter
Los grupos de Coxeter para el plano definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante los diagramas de Coxeter-Dynkin:
Los grupos con órdenes enteros son los siguientes:
+ Plano euclídeoSimetríaorbifoldGrupo de CoxeterDiagramade CoxeterNotasCompacto*333(3 3 3) [3] 3 formas de reflexión, 1 roma*442(4 4 2) [4,4] 5 formas de reflexión, 1 roma*632(6 3 2) [6,3] 7 formas de reflexión, 1 roma*2222(∞ 2 ∞ 2) × [∞,2,∞] 3 formas de reflexión, 1 romaNo compacto (friso)*∞∞(∞) [∞]*22∞(2 2 ∞) × [∞,2]2 formas de reflexión, 1 roma
+ Plano hiperbólicoSimetríaorbifoldGrupo de CoxeterDiagramade CoxeterNotasCompacto*pq2(p q 2)[p,q] 2(p+q) < pq*pqr(p q r) [(p,q,r)]pq+pr+qr < pqrParacompacto*∞p2(p ∞ 2) [p,∞]p>=3*∞pq(p q ∞) [(p,q,∞)] p,q>=3, p+q>6*∞∞p(p ∞ ∞) [(p,∞,∞)] p>=3*∞∞∞(∞ ∞ ∞) [(∞,∞,∞)]
Teselados uniformes del plano euclídeo
Hay grupos de simetría en el plano euclidiano construidos a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.
Estos grupos de simetría crean 3 teselados regulares y 7 semirregulares. Varios de los teselados semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.
Un grupo de simetría prismática denotado (2 2 2 2) está representado por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden tener un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos teselados.
Otro grupo de simetría prismática representado por (∞ 2 2) tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos teselados uniformes, el prisma apeirogonal y el antiprisma apeirogonal.
El apilamiento de las caras finitas de estos dos teselados prismáticos construye un teselado uniforme no wythoffiano del plano. Se llama teselado triangular elongado y está compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.
Triángulos fundamentales rectángulos: (p q 2) (p q 2)TriángulosfundamentalesOriginalTruncadoRectificadoBitruncadoBirrectificado(dual)CanteadoOmnitruncado(Cantitruncado)RomoConstrucción de Wythoff q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2Símbolo de Schläfli{p,q}t{p,q}r{p,q}2t{p,q}=t{q,p}2r{p,q}={q,p}rr{p,q}tr{p,q}sr{p,q}Diagrama de Coxeter-DynkinConfiguración de vérticespqq.2p.2p(p.q)2p. 2q.2qqpp. 4.q.44.2p.2q3.3.p. 3.qTeselado cuadrado(4 4 2){4,4}4.8.84.4.4.44.8.8{4,4}4.4.4.44.8.83.3.4.3.4Teselado hexagonal(6 3 2){6,3}3.12.123.6.3.66.6.6{3,6}3.4.6.44.6.123.3.3.3.6
Triángulos fundamentales generales: (p q r) Construcción de Wythoff(p q r)Triángulosfundamentales q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q rDiagrama de Coxeter-DynkinConfiguración de vértices(p.q)rr.2p.q.2p(p.r)qq.2r.p. 2r(q.r)pq.2r.p. 2rr.2q.p. 2q3.r.3.q.3.pTriangular(3 3 3)(3.3)33.6.3.6(3.3)33.6.3.6(3.3)33.6.3.66.6.63.3.3.3.3.3
Dominios fundamentales no simples
El único dominio fundamental posible en el espacio euclídeo bidimensional que no es un símplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con diagrama de Coxeter-Dynkin: . Todas las formas generadas a partir de él se convierten en teselados cuadrados.
Teselados uniformes del plano hiperbólico
Hay infinitos teselados uniformes de polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico, cada uno basado en un grupo de simetría de reflexión diferente (p q r).
Aquí se incluye una muestra, representada mediante su proyección sobre el disco de Poincaré.
El diagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r conectado al primer nodo.
Existen más grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros que comienzan con (2 2 2 3)..., que pueden generar nuevas formas. Además, existen dominios fundamentales que colocan los vértices en el infinito, como (∞ 2 3) u otros.
Triángulos fundamentales rectángulos: (p q 2) (p q 2)TriángulosfundamentalesOriginalTruncadoRectificadoBitruncadoBirrectificado(dual)CanteadoOmnitruncado(Cantitruncado)RomoConstrucción de Wythoff q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2Símbolo de Schläflit{p,q}t{p,q}r{p,q}2t{p,q}=t{q,p}2r{p,q}={q,p}rr{p,q}tr{p,q}sr{p,q}Diagrama de Coxeter-DynkinConfiguración de vérticespq(q.2p.2p)(p.q.p.q)(p. 2q.2q)qp(p. 4.q.4)(4.2p.2q)(3.3.p. 3.q)(5 4 2)V4.8.10{5,4}4.10.104.5.4.55.8.8{4,5}4.4.5.44.8.103.3.4.3.5(5 5 2)V4.10.10{5,5}5.10.105.5.5.55.10.10{5,5}5.4.5.44.10.103.3.5.3.5(7 3 2)V4.6.14{7,3}3.14.143.7.3.77.6.6{3,7}3.4.7.44.6.143.3.3.3.7(8 3 2)V4.6.16{8,3}3.16.163.8.3.88.6.6{3,8}3.4.8.44.6.163.3.3.3.8
Triángulos fundamentales generales (p q r) Construcción de Wythoff(p q r)Triángulosfundamentales q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q rDiagrama de Coxeter-DynkinConfiguración de vértices(p.r)q(r.2p.q.2p)(p.q)r(q.2r.p. 2r)(q.r)p(r.2q.p. 2q)(2p.2q.2r)(3.r.3.q.3.p)(4 3 3)V6.6.8(3.4)33.8.3.8(3.4)33.6.4.6(3.3)43.6.4.66.6.83.3.3.3.3.4(4 4 3)V6.8.8(3.4)43.8.4.8(4.4)33.6.4.6(3.4)44.6.4.66.8.83.3.3.4.3.4(4 4 4)V8.8.8(4.4)44.8.4.8(4.4)44.8.4.8(4.4)44.8.4.88.8.83.4.3.4.3.4
Listas ampliadas de teselados uniformes
Hay varias formas de ampliar la lista de teselados uniformes:
Las figuras de vértice pueden tener caras retrógradas y girar alrededor del vértice más de una vez. Se pueden incluir teselados con polígonos estrellados. Los apeirógonos, {∞}, se pueden utilizar como caras de teselado. También se puede utilizar zig-zags (apeirogons alternando entre dos ángulos). La restricción de que los teselados se encuentren de borde a borde se puede relajar, permitiendo teselados adicionales como los teselados pitagóricos.
Los triángulos del grupo de simetría con disposiciones retrógradas incluyen: (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2) Los triángulos del grupo de simetría con infinito incluyen: (4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)
Branko Grünbaum y G. C. Shephard, en el libro de 1987 "Tilings and patterns" (Teselados y patrones), en la sección 12.3, enumera una lista de 25 teselados uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y agrega 14 más que llaman "teselados huecos" que incluían los dos primeros. expansiones anteriores, caras de polígonos estrellados y figuras de vértice también estrelladas.Tiles and Patterns, Table 12.3.1 p.640
Harold Scott MacDonald Coxeter, M. S. Longuet-Higgins y J. C. P. Miller, en el artículo de 1954 Poliedros uniformes, en la 'Tabla 8: Teselaciones uniformes', utilizan las tres primeras expansiones y enumeran un total de 38 teselados uniformes. Si se cuenta también un teselado formado por 2 apeirógonos, el total puede considerarse 39 teselados uniformes.
En 1981, Grünbaum, Miller y Shephard en su artículo "Uniform Tilings with Hollow Tiles" (Teselados Uniformes con teselas huecas) enumeraron 25 teselados usando las dos primeras expansiones y 28 más cuando se agrega la tercera (lo que hace 53, usando la definición de Coxeter et al.). Cuando agregan la cuarta condición, enumeran 23 teselados uniformes adicionales y 10 familias (8 dependiendo de parámetros continuos y 2 de parámetros discretos).
Además de las 11 soluciones convexas, a continuación se muestran los 28 teselados de estrellas uniformes enumerados por Coxeter et al., agrupados por gráficos de bordes compartidos, seguidos de 15 más enumerados por Grünbaum et al., que cumplen con la definición de Coxeter, pero que no fueron incluidos por este último.
Este conjunto no se ha demostrado que sea completo. Por 2,25 se entiende el teselado 25 en la tabla 2 de Grünbaum et al. de 1981.
Los siguientes tres teselados son excepcionales porque solo hay un número finito de un tipo de cara: dos apeirógonos en cada uno. A veces no se incluye el teselado apeirogonal de orden 2, ya que sus dos caras se encuentran en más de un borde.
+ Simetría de frisoMcNeillDiagramaConfiguraciónde vérticesWythoffSimetríaNotasI1∞.∞p1m1(Dos semiplanos como teselas, teselado apeirogonal de orden-2)I24.4.∞∞ 2 | 2p1m1Prisma apeirogonalI33.3.3.∞| 2 2 ∞p11gAntiprisma apeirogonal
Para mayor claridad, los apeirógonos no se colorean de aquí en adelante, y simplemente se resalta un conjunto de polígonos alrededor de un vértice. McNeill solo enumera los teselados proporcionados por Coxeter et al. (1954). Los once teselados uniformes convexos se han repetido como referencia.