En geometría, un triángulo de Schwarz, llamado así por el matemático alemán Hermann Schwarz (1843-1921), es un triángulo esférico que se puede usar para teselar una esfera (es decir, permite formar un teselado esférico) mediante sucesivas reflexiones respecto a sus lados, con la posibilidad de superposición. Fueron clasificados por .
Se pueden definir de manera más general como teselaciones de la esfera, el plano euclídeo o el plano hiperbólico. Cada triángulo de Schwarz en una esfera define un grupo finito, mientras que en el plano euclídeo o hiperbólico definen un grupo infinito.
Un triángulo de Schwarz está representado por tres números racionales , cada uno de los cuales corresponde al ángulo en uno de sus tres vértices. El valor significa que el ángulo del vértice es del semicírculo. El valor "2" implica un triángulo rectángulo. Cuando se trata de números enteros, el triángulo se denomina triángulo de Möbius y corresponde a un teselado "no" superpuesto, y el grupo de simetría se denomina grupo triangular. En la esfera hay tres triángulos de Möbius más una familia de un parámetro; en el plano hay tres triángulos de Möbius; mientras que en el espacio hiperbólico hay una familia de triángulos de Möbius de tres parámetros y ningún objeto excepcional.
Espacio solución Un triángulo de dominio fundamental , con ángulos de vértice , y , puede existir en diferentes espacios, dependiendo del valor de la suma de los recíprocos de estos números enteros:
Esta es simplemente una forma de decir que en el espacio euclídeo los ángulos interiores de un triángulo suman Π, mientras que en una esfera suman un ángulo mayor que Π, y en el espacio hiperbólico suman menos.
Representación gráfica Un triángulo de Schwarz se representa gráficamente mediante un grafo triangular. Cada nodo representa un lado (especular) del triángulo de Schwarz. Cada arista está etiquetada por un valor racional correspondiente al orden de reflexión, siendo este valor π/ángulo verticial.
Triángulo de Schwarz (p q r) sobre una esferaGrafo del triángulo de Schwarz
Los bordes de valor 2 representan espejos perpendiculares (ángulo Π/2 = 90°), que se pueden ignorar en este diagrama. El diagrama de Coxeter-Dynkin representa este gráfico triangular con las aristas de orden 2 ocultas.
Se puede usar un grupo de Coxeter para manejar una notación más simple, como (p q r) para gráficos cíclicos, y (p q 2) = [p,q] para (triángulos rectángulos), y (p 2 2) = [p]×[] para triángulos esféricos con dos ángulos rectos.
Lista de triángulos de Schwarz
Triángulos de Möbius para la esfera (2 2 2) o [2,2](3 2 2) o [3,2]...(3 3 2) o [3,3](4 3 2) o [4,3](5 3 2) o [5,3]
Los triángulos de Schwarz con números enteros, también llamados triángulos de Möbius, incluyen una familia de 1 parámetro y tres casos excepcionales:
[p,2] o (p 2 2) – Grupo diedral, [3,3] o (3 3 2) – Simetría tetraédrica, [4,3] o (4 3 2) – Simetría octaédrica, [5,3] o (5 3 2) – Simetría icosaédrica,
Triángulos de Schwarz para la esfera por densidad Los triángulos de Schwarz (p q r), agrupados por su densidad son:
DensidadDiédricoTetraédricoOctaédricoIcosaédricod(2 2 n/d)1(2 3 3)(2 3 4)(2 3 5)2(3/2 3 3)(3/2 4 4)(3/2 5 5), (5/2 3 3)3(2 3/2 3)(2 5/2 5)4(3 4/3 4)(3 5/3 5)5(2 3/2 3/2)(2 3/2 4)6(3/2 3/2 3/2)(5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)7(2 3 4/3)(2 3 5/2)8(3/2 5/2 5)9(2 5/3 5)10(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)11(2 3/2 4/3)(2 3/2 5)13(2 3 5/3)14(3/2 4/3 4/3)(3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)16(3 5/4 5/2)17(2 3/2 5/2)18(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)19(2 3 5/4)21(2 5/4 5/2)22(3/2 3/2 5/2)23(2 3/2 5/3)26(3/2 5/3 5/3)27(2 5/4 5/3)29(2 3/2 5/4)32(3/2 5/4 5/3)34(3/2 3/2 5/4)38(3/2 5/4 5/4)42(5/4 5/4 5/4)
Triángulos para el plano euclídeo (3 3 3)(4 4 2)(6 3 2)
Densidad 1:
(3 3 3) – 60-60-60 (equilátero), (4 4 2) – 45-45-90 (isósceles rectángulo), (6 3 2) – 30-60-90,
Densidad 2:
(6 6 3/2) - triángulo 120-30-30
Densidad ∞:
(4 4/3 ∞) (3 3/2 ∞) (6 6/5 ∞)
Triángulos para el plano hiperbólico (7 3 2)(8 3 2)(5 4 2)(4 3 3)(4 4 3)(∞ ∞ ∞)Dominios fundamentales de los triángulos (p q r) Densidad 1:
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞) (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞) (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞) (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞) (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞) (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞) (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞) ... (∞ ∞ ∞)
Densidad 2:
(3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞) (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞) (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞) (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞) ...
Densidad 3:
(2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11)...
Densidad 4:
(7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11)...
Densidad 6:
(7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11)... (7/2 7/2 7/2), (9/2 9/2 9/2)...
Densidad 10:
(3 7/2 7)
El triángulo de Schwarz (2 3 7) es el triángulo de Schwarz hiperbólico más pequeño y, como tal, es de particular interés. Su grupo triangular (o más precisamente, el grupo triangular de isometrías que conservan la orientación) es el (2,3,7) triangle group, que es el grupo universal para todos los grupos de Hurwitz, grupos máximos de isometrías de la superficie de Riemann. Todos los grupos de Hurwitz son cocientes del grupo de triángulos (2,3,7), y todas las superficies de Hurwitz están cubiertas por el triángulo de Schwarz (2,3,7). El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño, que es isomorfo a PSL(2,7), y la superficie de Hurwitz asociada (del género 3) es la cuártica de Klein.
El triángulo (2 3 8) tesela la superficie de Bolza, una superficie altamente simétrica (pero no de Hurwitz) de género 2.
Los triángulos con un ángulo no entero, enumerados anteriormente, fueron clasificados por Anthony W. Knapp.A. W. Knapp, Doubly generated Fuchsian groups, Michigan Mathematical Journal 15 (1968), no. 3, 289–304 Una lista de triángulos con múltiples ángulos no enteros está disponible en un texto de Klimenko y Sakuma.Klimenko and Sakuma, Two-generator discrete subgroups of Isom( H 2 ) containing orientation-reversing elements, Geometriae Dedicata; October 1998, Volume 72, Issue 3, pp 247-282
Teselado del semiplano hiperbólico a partir de un triángulo de Schwarz
En esta sección se analizan las teselaciones del semiplano hiperbólico superior a partir de un triángulo de Schwarz utilizando métodos elementales. Para triángulos sin "cúspides" (es decir, sin ángulos iguales a cero; o lo que es lo mismo, sin vértices en el infinito) o vértices equivalentes en el eje real, se seguirá el enfoque elemental de . Para triángulos con una o dos cúspides (véase vértices ideales de un triángulo hiperbólico) se utilizarán argumentos elementales de , simplificando el planteamiento de : en el caso de un triángulo de Schwarz con un ángulo cero y otro un ángulo recto, el subgrupo que conserva la orientación del grupo de reflexión del triángulo es un grupo modular. Para un triángulo ideal en el que todos los ángulos sean cero, de modo que todos sus vértices estén sobre el eje real, la existencia del teselado se establecerá relacionándolo con la sucesión de Farey descrita en y . En este caso la teselación se puede considerar como la asociada a tres círculos que se tocan en la esfera de Riemann, caso límite de las configuraciones asociadas a tres círculos disjuntos no anidados y sus grupos de reflexión, los denominados "grupos de Schottky", descritos en detalle en . Alternativamente, al dividir el triángulo ideal en seis triángulos con ángulos 0, Π/2 y Π/3, la teselación de triángulos ideales se puede entender en términos de teselaciones de triángulos con una o dos cúspides.
Triángulos sin cúspides
Supóngase que el triángulo hiperbólico Δ tiene ángulos Π/a, Π/b y Π/c con a, b, c enteros mayores que 1. El área hiperbólica de Δ es igual a Π – Π/a – Π/b – Π/c, de modo que
La construcción de un teselado se realizará en primer lugar para el caso de que a, b y c sean mayores que 2.
El triángulo original Δ da un polígono convexo P1 con 3 vértices. En cada uno de los tres vértices, el triángulo puede reflejarse sucesivamente a través de las aristas que emanan de los vértices para producir 2m copias del triángulo donde el ángulo en el vértice es Π/m. Los triángulos no se superponen excepto en los bordes, la mitad de ellos tienen su orientación invertida y encajan entre sí para teselar un entorno del punto. La unión de estos nuevos triángulos junto con el triángulo original componen una forma conexa P2. Está formado por triángulos que solo se intersecan en las aristas o vértices, forma un polígono convexo con todos los ángulos menores o iguales a Π y cada lado es la arista de un triángulo reflejado. En el caso de que un ángulo de Δ sea igual a Π/3, un vértice de P2 tendrá un ángulo interior de Π, pero esto no afecta a la convexidad de P2. Incluso en este caso degenerado cuando surge un ángulo de Π, los dos bordes colineales todavía se consideran distintos para los propósitos de la construcción.
La construcción de P2 se puede entender más claramente al notar que algunos triángulos o fichas se agregan dos veces, como los tres triángulos que tienen un lado en común con el triángulo original. El resto tienen solo un vértice en común. Una forma más sistemática de realizar el teselado es primero agregar una tesela a cada lado (el reflejo del triángulo en ese borde) y luego rellenar los espacios en cada vértice. Esto da como resultado un total de 3 + (2a – 3) + (2b - 3) + (2c - 3) = 2(a + b + c) - 6 nuevos triángulos. Los nuevos vértices son de dos tipos: los que son vértices de los triángulos unidos a los lados del triángulo original, y aquellos que están conectados a 2 vértices de Δ. Cada uno de estos se encuentra en tres nuevos triángulos que se cruzan en ese vértice. Los restantes están conectados a un único vértice de Δ y pertenecen a dos nuevos triángulos que tienen una arista en común. Así, se forman 3 + (2a – 4) + (2b - 4) + (2c - 4) = 2(a + b + c) - 9 nuevos vértices. Por construcción no hay superposición. Para comprobar que P2 es convexo, basta con ver que el ángulo entre los lados que se encuentran en un nuevo vértice forman un ángulo menor o igual que Π. Pero los nuevos vértices se encuentran en dos o tres nuevos triángulos, que convergen en ese vértice, por lo que el ángulo en ese vértice no es mayor que 2Π/3 o Π, según se requiera.
Este proceso se puede repetir para P2 y a continuación obtener P3 agregando primero teselas en cada borde de P2 y luego rellenando los teselados alrededor de cada vértice de P2. Entonces el proceso puede repetirse desde P3, para obtener P4 y así de manera repetida, produciendo sucesivamente Pn a partir de Pn – 1. Se puede verificar inductivamente que en todas las iteraciones se forman siempre polígonos convexos, con teselados que no se superponen.
De hecho, como en el primer paso del proceso, hay dos tipos de teselas en la construcción de Pn a partir de Pn – 1: las unidas a un borde de Pn – 1 y las unidas a un solo vértice. Del mismo modo, hay dos tipos de vértices, aquellos en los que se encuentran dos nuevas teselas; y aquellos en los que se encuentran tres teselas. Entonces, siempre que no se superpongan teselas, el argumento anterior muestra que los ángulos en los vértices no son mayores que Π y, por lo tanto, Pn es un polígono convexo.
Por lo tanto, hay que comprobar que al construir Pn a partir de Pn − 1: