Un producto de Cantor es una descomposición única en forma de producto infinito de números racionales, que existe para cualquier número real , de la forma:Halbeisen, (2012), p. 49A. Singh Nimbran (2016), p. 5

donde los números son números naturales positivos y donde, además,

Enunciado del teorema de Cantor El teorema de Cantor sobre productos cantorianos infinitos puede resumirse de la siguiente forma:

Sea un número real. Entonces se aplica lo siguiente: (I) Para una y solo una sucesión de números naturales se puede determinar de tal manera que es una representación del producto de la forma

donde en esta sucesión, para cada índice la desigualdad y donde sólo aparece un número finito de elementos de secuencia con .

(II) Todo producto cantoriano, es decir, todo producto infinito de la forma descrita en (I), es convergente.

(III) es un número racional si y solo si en la representación del producto de Cantor según (I) de un índice para todos los índices posteriores siempre la identidad .

Propiedades

Se cumple que para entonces y, obviamente el resto de componentes cumplirán que . Nótese que a partir del primer valor para el cual el resto de enteros crecen muy rápido y por tanto la convergencia de la producto infinito se acelera.

Ejemplos

Más en general se tiene con y F. Engel, Entwicklung der Zahlen nach Stammbr ̈uechen, Verhandlungen der 52 sten Versammlung deutscher Philologen und Schulm ̈anner in Marburg vom 29. September bis 3. October 1913, 190–191.

Algoritmo La sucesión de números puede determinarse inductivamente partiendo de tal como sigue:

es la función de parte entera. y para

Demostración

La demostración se puede obtener a partir de la siguiente identidad debida a Euler:L. Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (1748) E101, English translation Introduction to analysis of the infinite, Book I, by John D. Blanton, Springer-Verlag, New York, 1988

Referencias

Bibliografía Halbeisen, L. J. (2012). Combinatorial set theory (Vol. 121). London: Springer. Lacroix, Y. (1993). "Metric properties of generalized Cantor products". Acta Arithmetica, 63(1), 61-77. Amrik Singh Nimbran (2016). "Mathematics behind in Sulba-Sutras and Cantor Product".

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