Función de Bessel

thumb|Las funciones de Bessel describen la parte radial de vibraciones de una membrana circular. En matemáticas, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

donde es un número natural, entero, racional, irracional, algebraico, trascendente, computable, real o complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución para no entero es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aunque y dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

Aplicaciones La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero () y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (), por ejemplo:

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas Conducción del calor en objetos cilíndricos Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo) Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesamiento de señales, generación del espectro de una señal en modulación de frecuencia y de fase en RF, propagación de ondas largas en ingeniería marítima y en problemas que tengan ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Funciones de Bessel ordinarias Las funciones de Bessel ordinarias de orden , llamadas simplemente funciones de Bessel de orden son soluciones de la ecuación de Bessel . La solución de tal ecuación se expresa así:

donde y son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Por lo que se observa de la igualdad anterior, existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro , que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

Funciones de Bessel de primera especie: Las funciones de Bessel de primera especie y orden son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen () para no enteros no negativos y divergen en el límite para negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Es posible definir la función por su expansión en serie de Taylor en torno a , la cual puede hallarse aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel:Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10.

es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos.

La ecuación también se puede expresar en forma equivalente como:

siempre que el número sea entero.

En estas funciones se cumple que:

Si , entonces y son linealmente independientes, y por tanto una solución general de la ecuación de Bessel puede expresarse como una combinación lineal de ellas. Si , entonces se cumple que:Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5.

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a , como se muestra en el gráfico anexo en la forma asintótica de estas funciones, aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes valores de .

miniatura|300px|derecha|Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros α=0,1 y 2

Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Integrales de Bessel Para valores enteros de , se tiene la siguiente representación integral:

Que también se puede escribir como:

Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definición dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:

También se tiene, para

Relación con las series hipergeométricas Las funciones de Bessel son un caso especial de función hipergeométrica

Esta fórmula está relacionada con la expansión de las funciones de Bessel en función de la función de Bessel–Clifford.

Relación con los polinomios de Laguerre Las funciones de Bessel pueden expandirse en serie de polinomios de Laguerre para cualquier parámetro arbitrario comoSzegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.

Funciones de Bessel de segunda especie: Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen, es decir .

miniatura|300px|derecha|Funciones de Bessel de segunda especie, Yα(x), para órdenes α=0,1,2 A estas funciones también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por . Para números no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especie mediante la siguiente fórmula:

En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite:

que proporciona el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos un no entero, la definición de es redundante (como queda claro por su definición de arriba). Por otro lado, cuando es entero, es la segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumple que:

Ambas y son funciones holomorfas de en el plano complejo cortado por el eje real negativo. Cuando es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable .

Funciones de Hankel: Hα(1), Hα(2) Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel y así definidas:Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4.

donde es la unidad imaginaria. Estas combinaciones lineales son también conocidas como las funciones de Bessel de tercera especie. Las funciones de Hankel de primera y segunda especie son usadas para representar las soluciones de ondas entrantes y salientes de una ecuación de ondas en simetrías cilíndricas respectivamente (o viceversa dependiendo de la convección de signo de la frecuencia). Estas funciones son así nombradas en honor de Hermann Hankel.

Usando la definición dada arriba, estas funciones se pueden escribir en función de las funciones de Bessel de primer orden así:

Si α es un entero, se tiene que calcular de las expresiones de arriba así:

La siguiente relación es válida para todo valor de α, sea entero o no:Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.6.

Existe una representación integral de las funciones de Hankel (útil para el cálculo de propagadores de la ecuación de Klein-Gordon):Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.25.

Solución general de la ecuación de Bessel La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Funciones de Bessel modificadas: Iα, Kα Las funciones de Bessel ordinarias son válidas para valores complejos del argumento x, y un caso especialmente importante es aquel con argumento imaginario puro. En este caso, la ecuación de Bessel se transforma en la ecuación de Bessel modificadaAbramowitz and Stegun, p. 374, 9.6.1.

y sus dos soluciones linealmente independientes son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo: Iα(x) y Kα(x) respectivamente.Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.

Funciones de Bessel modificadas de primera especie: Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y orden vienen dadas por:

Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente igualdad:

Si entonces y son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel. Si entonces no está definida en x = 0.

Casos particulares:

Funciones de Bessel modificadas de segunda especie: Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y orden se definen a partir de las funciones modificadas de primera especie para órdenes no enteros mediante la siguiente fórmula:

Para los casos en los que sea entero (), tenemos que tomar el límite del orden no entero al entero así:

Además se puede escribir esta función a partir de la función de Hankel de primera especie así:

Existen varias representaciones integrales de estas funciones. La siguiente de Kα (x) es útil para el cálculo del propagador de Feynman en Teoría Cuántica de Campos:

Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie han sido también llamadas: Funciones de Bassel Funciones de Bessel modificadas de tercera especie Funciones de MacDonald Funciones de Hankel modificadasReferred to as such in: Teichroew, D. The Mixture of Normal Distributions with Different Variances, The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 28, No. 2 (Jun., 1957), pp. 510–512

Al contrario que las funciones de Bessel ordinarias, Jα y Yα, las cuales son funciones oscilatorias para argumentos reales, las funciones de Bessel modificadas, Iα y Kα, son exponencialmente creciente y decreciente respectivamente. Como la función de Bessel ordinaria Jα, la función Iα va a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0. Análogamente, Kα diverge en x = 0.

Solución general de la ecuación de Bessel modificada La solución general de la ecuación diferencial de Bessel modificada con parámetro viene dada por:

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Funciones esféricas de Bessel:

miniatura|300px|derecha|Funciones esféricas de Bessel de primer orden, jn(x), para n=0,1,2 miniatura|300px|derecha|Funciones esféricas de Bessel de segundo orden, yn(x), para n=0,1,2 Cuando se soluciona la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma:

Donde n es un entero positivo. Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel y , y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias y por:Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1.

se escribe también como o . A esta función a veces se le llama función esférica de Neumann.

Las funciones esféricas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes fórmulas:

La función de Bessel esférica es la Función sinc desnormalizada.

Para n = 0,1 y 2 tenemos:Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11, 10.1.12;

Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11.

La fórmula general es:

Funciones de Hankel esféricas: h n

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