En álgebra lineal, la descomposición en valores propios de una matriz es su factorización en una forma canónica, de manera que se representa mediante sus valores y vectores propios (también denominados autovalores y autovectores). Solo las matrices diagonalizables se pueden factorizar de esta manera. Cuando la matriz que se factoriza es una matriz normal o una matriz simétrica real, la descomposición se denomina descomposición espectral, forma derivada del teorema de descomposición espectral.

Teoría fundamental de vectores propios y valores propios de una matriz

Un vector (distinto de cero) de dimensión es un vector propio de una matriz cuadrada si satisface una ecuación lineal de la forma

para algún escalar . Entonces se llama valor propio correspondiente a . Hablando geométricamente, los vectores propios de son los vectores que la transformación representada por la matriz simplemente alarga o encoge, y la cantidad en la que se alargan/encogen es el valor propio. La ecuación anterior se llama ecuación de valores propios o problema de valores propios.

Esto produce una ecuación para los valores propios

Se denomina polinomio característico de la matriz a , y la ecuación, llamada ecuación característica, es una ecuación polinómica de orden en la incógnita . Esta ecuación tendrá distintas soluciones para , donde . El conjunto de soluciones, es decir, los valores propios, se llama espectro de .

Si el cuerpo de escalares es algebraicamente cerrado, entonces se puede factorizar como

El entero se denomina multiplicidad algebraica del valor propio . Los números de multiplicidades algebraicas suman :

Para cada valor propio , se tiene una ecuación de valor propio específica

Habrá soluciones linealmente independientes para cada ecuación de valores propios. Las combinaciones lineales de las soluciones (excepto las que tienen el vector cero) son los vectores propios asociados al valor propio . El entero se denomina multiplicidad geométrica de . Es importante tener en cuenta que la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica pueden o no ser iguales, pero siempre se tiene que . El caso más simple es, por supuesto, cuando . El número total de vectores propios linealmente independientes, , se puede calcular sumando las multiplicidades geométricas

Los vectores propios se pueden indexar por valores propios, usando un índice doble, siendo el vector propio -ésimo para el valor propio -ésimo. Los vectores propios también se pueden indexar usando la notación más simple de un solo índice , con .

Descomposición propia de una matriz

Sea una matriz cuadrada de orden con vectores propios linealmente independientes (donde ). Entonces puede ser factorizada como

donde es la matriz cuadrada de orden cuya columna -ésima es el vector propio de , y es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios correspondientes, . Téngase en cuenta que solo las matrices diagonalizables se pueden factorizar de esta manera. Por ejemplo, la matriz defectiva (que es una matriz de cizallamiento) no se puede diagonalizar.

Los vectores propios suelen estar normalizados, pero no es necesario que lo estén. Un conjunto no normalizado de vectores propios , también se puede utilizar como las columnas de . Eso se puede entender observando que la magnitud de los vectores propios en se cancela en la descomposición por la presencia de . Si uno de los valores propios tiene más de un vector propio linealmente independiente (es decir, la multiplicidad geométrica de es mayor que 1), entonces estos vectores propios para este valor propio pueden elegirse para que sean mutuamente ortogonales; Sin embargo, si dos vectores propios pertenecen a dos valores propios diferentes, puede ser imposible que sean ortogonales entre sí (véase el ejemplo que figura a continuación). Un caso especial es que si es una matriz normal, entonces por el teorema espectral, siempre es posible diagonalizar en una base ortonormal .

La descomposición se puede derivar de la propiedad fundamental de los vectores propios:

Los vectores propios linealmente independientes con valores propios distintos de cero forman una base (no necesariamente ortonormal) para todos los posibles productos , para , que es lo mismo que la imagen (o rango) de la correspondiente matriz de transformación, y también el espacio columna de la matriz . El número de vectores propios linealmente independientes con valores propios distintos de cero es igual al rango de la matriz , y también la dimensión de la imagen (o rango) de la transformación matricial correspondiente, así como su espacio de columnas.

Los vectores propios linealmente independientes con un valor propio de cero forman una base (que se puede elegir para que sea ortonormal) para el núcleo (también conocido como kernel) de la transformación matricial .

Ejemplo

La matriz real 2 × 2

puede descomponerse en una matriz diagonal mediante la multiplicación de una matriz no singular

En consecuencia

para alguna matriz diagonal real .

Multiplicando ambos lados de la ecuación de la izquierda por :

La ecuación anterior se puede descomponer en dos ecuaciones simultáneas:

Factorizando los valores propios y :

de donde se obtiene que

lo que produce dos ecuaciones vectoriales:

Y se puede representar mediante una sola ecuación vectorial que involucra dos soluciones como valores propios:

donde representa los dos autovalores y , y representa los vectores y .

Desplazando al lado izquierdo y factorizando

Dado que no es singular, es esencial que no sea cero. Por lo tanto,

De este modo

y se obtienen las soluciones de los valores propios para la matriz como o , y la matriz diagonal resultante de la descomposición propia de es .

Poniendo las soluciones de nuevo en las ecuaciones simultáneas anteriores

Resolviendo las ecuaciones, se obtiene

Por lo tanto, la matriz requerida para la descomposición propia de es

y por lo tanto:

Matriz inversa mediante descomposición en valores propios

Si una matriz puede autodescomponerse y ninguno de sus autovalores es cero, entonces es invertible y su inversa viene dada por

Si es una matriz simétrica, dado que se forma a partir de los vectores propios de , se garantiza que es una matriz ortogonal, por lo tanto, . Además, como es una matriz diagonal, su inversa es fácil de calcular:

Implicaciones prácticas

Cuando se usa la descomposición propia en una matriz de datos reales obtenidos de una medición, el resultado inverso puede ser menos válido cuando todos los valores propios se usan sin modificar en la forma anterior. Esto se debe a que, a medida que los valores propios se vuelven relativamente pequeños, su contribución a la inversión es grande. Aquellos cerca de cero o del umbral del ruido del sistema de medición tendrán una influencia indebida y podrían dificultar la obtención de las soluciones (detección) usando la matriz inversa.

Se han propuesto dos mitigaciones: truncar valores propios pequeños o cero, y extender el valor propio fiable más bajo a los que están debajo de él.

El primer método de mitigación es similar a una muestra dispersa de la matriz original, eliminando los componentes que no se consideran valiosos. Sin embargo, si la solución o el proceso de detección está cerca del nivel de ruido, el truncamiento puede eliminar componentes que influyen en la solución deseada.

La segunda mitigación extiende el valor propio, de modo que los valores más bajos tienen mucha menos influencia sobre la inversión, pero todavía contribuyen, de modo que aún se encontrarán soluciones cercanas al ruido.

El valor propio fiable se puede encontrar asumiendo que los valores propios de valor extremadamente similar y bajo son una buena representación del ruido de medición (que se supone bajo para la mayoría de los sistemas).

Si los valores propios están clasificados por valor, entonces el valor propio fiable se puede encontrar minimizando el laplaciano de los valores propios ordenados:

donde a los valores propios se les añade un subíndice con un para indicar que se están ordenando. La posición de la minimización es el valor propio fiable más bajo. En los sistemas de medición, la raíz cuadrada de este valor propio fiable es el ruido promedio sobre los componentes del sistema.

Cálculo funcional

La descomposición propia permite un cálculo mucho más fácil de series de potencias de matrices. Si está dado por

entonces se sabe que

Debido a que es una matriz diagonal, las funciones de son muy fáciles de calcular:

Los elementos fuera de la diagonal de son cero; es decir, también es una matriz diagonal. Por lo tanto, calcular se reduce a simplemente calcular la función en cada uno de los valores propios.

Una técnica similar funciona más generalmente con el cálculo funcional holomórfico, usando

visto anteriormente. Una vez más, encontramos que

Ejemplos

que son ejemplos de las funciones . Además, es el exponencial de una matriz.

Descomposición para matrices especiales

Cuando es una matriz simétrica normal o real, la descomposición se denomina descomposición espectral, derivada del teorema espectral.

Matrices normales Una matriz cuadrada de valor complejo es normal (es decir, , donde es la matriz traspuesta conjugada) si y solo si se puede descomponer como

donde es una matriz unitaria (que significa que ) y es una matriz diagonal., p. 133, Theorem 2.5.3 Las columnas u1, ..., un de forman un base ortonormal y son vectores propios de con valores propios correspondientes λ1, ..., λn.

Si está restringido a ser un matriz hermítica (), entonces solo tiene entradas con valores reales. Si está restringida a ser una matriz unitaria, entonces puede tomar todos sus valores en el círculo unitario complejo, es decir, .

Matrices simétricas reales

Como caso especial, para cada matriz simétrica real , los valores propios son reales y los vectores propios pueden elegirse reales y ortonormales. Por lo tanto, una matriz simétrica real se puede descomponer como

donde es una matriz ortogonal cuyas columnas son (los elegidos anteriormente, reales y ortonormales) vectores propios de , y es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de ., p. 136, Corollary 2.5.11

Datos útiles

Datos útiles sobre los valores propios El producto de los valores propios es igual al determinante de Debe tenerse en cuenta que cada valor propio se eleva a la potencia , su multiplicidad algebraica. La suma de los valores propios es igual a la traza de Debe tenerse en cuenta que cada valor propio se multiplica por , su multiplicidad algebraica. Si los valores propios de son y es invertible, entonces los valores propios de son simplemente . Si los valores propios de son , entonces los valores propios de son simplemente , para cualquier función holomorfa .

Datos útiles sobre los vectores propios Si es una matriz hermítica y de rango completo, la base de los vectores propios puede elegirse para que sean mutuamente ortogonales, y los valores propios (o autovalores) son reales. Los vectores propios de son los mismos que los vectores propios de . Los vectores propios solo se definen hasta una constante multiplicativa. Es decir, si entonces es también un vector propio para cualquier escalar . En particular, y (para cualquier θ) también son vectores propios. En el caso de valores propios degenerados (un valor propio que tiene más de un vector propio), los vectores propios tienen una libertad adicional de transformación lineal, es decir, cualquier combinación lineal (ortonormal) de vectores propios que comparten un valor propio (en el subespacio degenerado) es en sí mismo un vector propio (en el subespacio).

Datos útiles sobre la descomposición mediante valores propios

puede descomponerse en forma propia si y solo si el número de vectores propios linealmente independientes , es igual a la dimensión de un vector propio: Si el campo de escalares es algebraicamente cerrado y si no tiene raíces repetidas, es decir, si entonces puede descomponerse automáticamente.