En teoría de números, el valor (también conocido como valoración u orden -ádico) de un número entero es el exponente de la potencia más alta del número primo dado que divide a .

Se denota como . De manera equivalente, es el exponente con el que aparece en la descomposición en factores primos de .

El valor -ádico es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual. Mientras que el espacio métrico completo de los números racionales respecto al valor absoluto habitual da como resultado los números reales , al completar los números racionales respecto al valor absoluto -ádico se obtienen como resultado los números .

Definición y propiedades Sea un número primo.

Enteros La valoración -ádica de un entero se define como

donde denota el conjunto de los números naturales y denota la divisibilidad de por . En particular, es una función .

Por ejemplo, , y dado que .

La notación a veces se usa para referirse a .

Si es un entero positivo, entonces

esto se sigue directamente de que .

Números racionales La valoración -ádica se puede extender a los números racionales como la función

Con la relación de orden usual, a saber ,

y reglas para operaciones aritméticas,

,

en la recta numérica extendida

definida por

Por ejemplo, y dado que .

Algunas de sus propiedades son:

Además, si , entonces

donde es el mínimo (es decir, el menor de los dos).

Valor -ádico absoluto

El valor absoluto -ádico sobre los números racionales es la función

definida por

Por lo tanto, para todos los y, por ejemplo, y

El valor absoluto -ádico satisface las siguientes propiedades:

{|class="wikitable" |- |No negativo|| |- |Definido positivo|| |- |Multiplicativo|| |- |No arquimediano||

De la multiplicatividad se deduce que para las raíces de la unidad y , y en consecuencia, también que La subaditividad se deriva de la desigualdad triangular no arquimediana .

La elección de la base en la potenciación no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto:

donde el producto se toma entre todos los números primos y el valor absoluto habitual, denotado como . Esto se deriva simplemente de tomar la factorización en números primos: cada factor de potencia primo contribuye con su recíproco a su valor absoluto -ádico, y luego el valor absoluto habitual arquimediano los cancela a todos.

El valor absoluto -ádico a veces se denomina "norma -ádica", aunque en realidad no es una norma propiamente dicha porque no cumple con el requisito de homogeneidad.

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto con una métrica (no arquimediana e invariante respecto a las traslaciones):

definido por

La operación de completar con respecto a esta métrica conduce al conjunto de los números -ádicos.

Véase también Número p-ádico Axioma de Arquímedes Multiplicidad (matemáticas) Teorema de Ostrowski

Referencias

Categoría:Teoría de números algebraicos Categoría:Números p-ádicos