La teoría de los números trascendentes es una rama de teoría de números que investiga los números trascendentes (números que no son soluciones de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales), tanto de manera cualitativa como cuantitativa.
Trascendencia
El teorema fundamental del álgebra afirma que si se tiene un polinomio no constante con coeficientes racionales (o de manera equivalente, mediante eliminación de denominadores, con coeficientes enteros), entonces ese polinomio tendrá una raíz en los números complejos. Es decir, para cualquier polinomio no constante con coeficientes racionales existirá un número complejo tal que . La teoría de la trascendencia se ocupa de la pregunta inversa: dado un número complejo , ¿existe un polinomio con coeficientes racionales tales que ? Si no existe tal polinomio, entonces el número se llama trascendente.
Más generalmente, la teoría trata sobre la independencia algebraica de números. Un conjunto de números {α1, α2, …, αn} se llama algebraicamente independiente sobre un cuerpo K si no hay ningún polinomio P distinto de cero en n variables con coeficientes en K tal que P(α1, α2, …, αn) = 0. Así que averiguar si un número dado es trascendente es realmente un caso especial de independencia algebraica, donde n = 1 y el cuerpo K es el cuerpo de los números racionales.
Una noción relacionada es si existe una forma cerrada para un número, incluidos exponenciales y logaritmos, así como operaciones algebraicas. Hay varias definiciones de forma cerrada, y las cuestiones sobre las formas cerradas a menudo se pueden reducir a cuestiones sobre trascendencia.
Historia Aproximación por números racionales: de Liouville a Roth
El uso del término trascendente para referirse a un objeto que no es algebraico se remonta al , cuando Gottfried Leibniz demostró que la función seno no era una función algebraica.N. Bourbaki, Elements of the History of Mathematics Springer (1994). La cuestión de si ciertas clases de números podrían ser trascendentes se remonta a 1748,. cuando Leonhard Euler afirmó que el número logab no era algebraico para los números racionales a y b un b dado, no existe ningún número racional c tal que b = ac.
La afirmación de Euler no fue probada hasta el , pero casi cien años después de su afirmación Joseph Liouville sí logró probar la existencia de números que no son algebraicos, algo que hasta entonces no se sabía con certeza.La prueba de existencia basada en la diferente cardinalidad de los números reales y los números algebraicos no era posible antes del primer artículo de teoría de conjuntos de Cantor en 1874. Sus artículos originales sobre el tema en la década de 1840 esbozaron argumentos usando fracciones continuas para construir números trascendentes. Más adelante, en la década de 1850, dio una condición necesaria para que un número fuera algebraico y, por lo tanto, una condición suficiente para que un número fuera trascendente.; Journal Math. Pures et Appl. 16, (1851), pp.133–142. Este criterio de trascendencia tampoco era lo suficientemente fuerte como para ser necesario y, de hecho, no logra justificar que el número e es trascendente. Pero su trabajo proporcionó una clase más amplia de números trascendentes, ahora conocidos como números de Liouville en su honor.
El criterio de Liouville afirmaba esencialmente que los números algebraicos no pueden aproximarse adecuadamente mediante números racionales. En consecuencia, si un número puede aproximarse muy bien mediante números racionales, entonces debe ser trascendente. El significado exacto de "muy bien aproximado" en el trabajo de Liouville se relaciona con cierto exponente. Demostró que si α es un número algebraico de grado d ≥ 2 y ε es cualquier número mayor que cero, entonces la expresión
puede satisfacerse solo con un número finito de números racionales p/q. Usar esto como criterio de trascendencia no es una cuestión baladí, ya que hay que comprobar si existen infinitas soluciones p/q para cada d ≥ 2.
En el , el trabajo de Axel Thue, Carl Siegel, y Klaus Roth And "Corrigendum", p. 168, . redujo el exponente en el trabajo de Liouville de a , y finalmente, en 1955, a . Este resultado, conocido como el teorema de Thue-Siegel-Roth, es ostensiblemente el mejor posible, ya que si el exponente se reemplaza por solo 2, entonces el resultado ya no es verdadero. Sin embargo, Serge Lang conjeturó una mejora del resultado de Roth; en particular, conjeturó que en el denominador del lado derecho podría reducirse a .
El trabajo de Roth culminó de forma efectiva la labor iniciada por Liouville, y su teorema permitió a los matemáticos probar la trascendencia de muchos más números, como el número de Champernowne. Sin embargo, el teorema aún no es lo suficientemente fuerte para detectar todos los números trascendentes, y muchas constantes famosas, incluidas e y π, no son o no se sabe que sean muy aproximables en el sentido anterior.
Funciones auxiliares: de Hermite a Baker Afortunadamente, otros métodos fueron pioneros en el para tratar las propiedades algebraicas de e y, en consecuencia, de π a través de la identidad de Euler. Este trabajo se centró en el uso de las denominadas funciones auxiliares, que son una clase de funciones que típicamente contienen muchos ceros en los puntos bajo consideración. Aquí, muchos ceros puede significar muchos ceros distintos, o tan solo un cero pero con una alta multiplicidad, o incluso muchos ceros, todos con una gran multiplicidad. Charles Hermite usó funciones auxiliares que se aproximaban a las funciones para cada número natural con el fin de probar la trascendencia de en 1873. Su trabajo fue desarrollado por Carl Louis Ferdinand von Lindemann en la década de 1880 para probar que eα es trascendente para números algebraicos α distintos de cero. En particular, esto probó que π es trascendente, ya que eπi es algebraico, y por lo tanto respondió negativamente al problema de la antigüedad clásica sobre si era posible obtener la cuadratura del círculo empleando un número finito de operaciones realizadas exclusivamente con regla y compás. Karl Weierstraß desarrolló su trabajo aún más y finalmente probó el teorema de Lindemann–Weierstrass en 1885.
En 1900 David Hilbert hizo pública su famosa colección de problemas. El séptimo problema, y uno de los más complicados a juicio de Hilbert, preguntaba sobre la trascendencia de los números de la forma ab cuando a y b son algebraicos, a no es cero o uno, y b es irracional. En la década de 1930, Aleksandr Guélfond y Theodor Schneider demostraron que todos esos números eran realmente trascendentes utilizando una función auxiliar no explícita cuya existencia fue asegurada por el lema de Siegel. Este resultado, el teorema de Gelfond-Schneider, demostró la trascendencia de números como la eπ y la constante de Gelfond-Schneider.
El siguiente gran resultado en este campo se produjo en la década de 1960, cuando Alan Baker avanzó en un problema planteado por Gelfond en formas lineales en logaritmos. El mismo Gelfond había logrado encontrar un límite inferior no trivial para la cantidad
donde las cuatro incógnitas son algebraicas, siendo las α ni cero ni uno y las β irracionales. Sin embargo, había eludido encontrar límites inferiores similares para la suma de tres o más logaritmos. La prueba del teorema de Baker contenía tales límites, resolviendo el problema de número de clase de Gauss para la clase número uno en el proceso. Este trabajo le valió a Baker la Medalla Fields por sus usos para resolver ecuaciones diofánticas. Desde un punto de vista puramente teórico de los números trascendentes, Baker había demostrado que si α1, ..., αn son números algebraicos, ninguno de ellos cero o uno, y β1, ..., βn son números algebraicos tales que 1, β1, .. ., βn son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces el número
es trascendente.A. Baker, Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, II, III, Mathematika 13 ,(1966), pp.204–216; ibid. 14, (1967), pp.102–107; ibid. 14, (1967), pp.220–228,
Otras técnicas: Cantor y Zilber
En la década de 1870, Georg Cantor comenzó a desarrollar la teoría de conjuntos y, en 1874, publicó un artículo que demostraba que los números algebraicos se podían poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales y, por lo tanto, que el conjunto de números trascendentes debe ser incontable. Posteriormente, en 1891, Cantor usó su intuitivo argumento diagonal para demostrar el mismo resultado. Mientras que el resultado de Cantor a menudo se cita como puramente existencial y, por lo tanto, inutilizable para construir un solo número trascendente, las demostraciones en los dos artículos antes mencionados brindan métodos para construir números trascendentes.
Si bien Cantor usó la teoría de conjuntos para probar la completitud de los números trascendentes, un desarrollo reciente ha sido el uso de la teoría de modelos en intentos de probar un problema no resuelto en la teoría de números trascendentes, que consiste en determinar el grado de trascendencia del cuerpo
para números complejos x1, ..., xn que son linealmente independientes sobre los números racionales. Stephen Schanuel conjecturó que la respuesta es al menos n, pero no se conoce ninguna demostración. Sin embargo, en 2004, Boris Zilber publicó un artículo que utilizó técnicas de teoría de modelos para crear una estructura que se comporta de manera muy similar a los números complejos equipados con las operaciones de suma, multiplicación y exponenciación. Además, en esta estructura abstracta, la conjetura de Schanuel sí se cumple. Desafortunadamente aún no se sabe si esta estructura es de hecho la misma que la de los números complejos con las operaciones mencionadas; podría existir alguna otra estructura abstracta que se comporte de manera muy similar a los números complejos pero donde la conjetura de Schanuel no se cumple. Zilber proporcionó varios criterios que probarían que la estructura en cuestión era C, pero no pudo probar el llamado axioma de cierre exponencial fuerte. El caso más simple de este axioma ha sido probado desde entonces, pero se requiere una prueba que se cumpla con toda su generalidad para completar la prueba de la conjetura.
Aproximaciones
Un problema típico en esta área de las matemáticas es averiguar si un número dado es trascendente. Cantor usó un argumento de cardinalidad para mostrar que solo hay muchos números algebraicos contables y, por lo tanto, casi todos los números reales restantes son trascendentes. Los números trascendentes, por lo tanto, representan el caso más usual, aunque pueda ser extremadamente difícil demostrar que un número dado es trascendente (o incluso simplemente irracional).
Por esta razón, la teoría de la trascendencia a menudo trabaja hacia un enfoque más cuantitativo. Entonces, dado un número complejo particular α, es posible preguntarse lo cerca que está α de ser un número algebraico. Por ejemplo, si se supone que el número α es algebraico, ¿se puede demostrar que debe estar asociado a un polinomio de grado muy alto o a un polinomio mínimo con coeficientes muy grandes? En última instancia, si es posible demostrar que ningún grado o tamaño finito de los coeficientes es suficiente, entonces el número debe ser trascendente. Dado que un número α es trascendente si y solo si P(α) ≠ 0 para todo polinomio distinto de cero P con coeficientes enteros, este problema se puede abordar tratando de encontrar los límites inferiores de la forma
donde el lado derecho es alguna función positiva que depende de alguna medida A del tamaño de los coeficientes de P, y su grado d, y tal que estos límites inferiores se aplican a todos los P ≠ 0. Tal límite se denomina medida de trascendencia.
El caso de d = 1 es el de la aproximación diofántica "clásica" que exige cotas inferiores para
.
Los métodos de la teoría de la trascendencia y la aproximación diofántica tienen mucho en común: ambos utilizan el concepto de función auxiliar.