En teoría de números, se denominan números primos en progresión aritmética a cualquier sucesión de al menos tres números primos que son términos consecutivos en una progresión aritmética. Un ejemplo es la secuencia de números primos (3, 7, 11), que está dada por para .
Según el teorema de Green-Tao, existen secuencias arbitrariamente largas de números primos en progresión aritmética. A veces, la frase también se puede usar sobre números primos que pertenecen a una progresión aritmética que también contiene números compuestos. Por ejemplo, se puede utilizar con números primos en una progresión aritmética de la forma , donde a y b son coprimos que, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contienen infinitos números primos, además de infinitos compuestos.
Para un número entero k = 3, una PA-k es cualquier secuencia de k números primos en progresión aritmética. Una PA-k se puede escribir como k primos de la forma a·n + b, para dos números enteros fijos a (llamado diferencia común) y b, y k valores enteros consecutivos de n. Una PA-k (progresión aritmética de k elementos) generalmente se expresa con n = 0 a k − 1. Esto siempre se puede lograr definiendo b como el primer número primo en la progresión aritmética.
Propiedades Cualquier progresión aritmética dada de números primos tiene una longitud finita. En 2004, Ben J. Green y Terence Tao demostraron una antigua conjetura a través de la formalización del teorema de Green-Tao: la sucesión de los números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Se sigue inmediatamente que hay infinitas PA-k para cualquier k dado.
Si una PA-k no comienza con el primo k, entonces la diferencia común es un múltiplo del primorial k# = 2·3·5·...·j, donde j es el mayor primo ≤ k.
Demostración: Sea PA-k a·n + b para k valores consecutivos de n. Si una p prima no divide a a, entonces la aritmética modular implica que p dividirá cada p-ésimo término de la progresión aritmética. (De H.J. Weber, Cor.10 en "Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets", arXiv:1102.3075[math.NT]. Véase también Teor.2.3 en "Regularities of Twin, Triplet and Multiplet Prime Numbers", arXiv :1103.0447[math.NT], Global J.P.A.Math 8(2012), en prensa). Si la PA contiene números primos para valores consecutivos de k, entonces a debe ser divisible por todos los primos p≤k. Esto también demuestra que una PA con diferencia común a no puede contener más términos primos consecutivos que el valor del primo más pequeño que no divide a a.
Si k es primo entonces una PA-k puede comenzar con k y tener una diferencia común que es solo un múltiplo de (k+1)# en lugar de k#. (De H. J. Weber, "Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.) Por ejemplo, la PA-3 con números primos 3, 5, 7 y diferencia común 2# = 2, o la PA-5 con primos 5, 11, 17, 23, 29 y diferencia común 4# = 6. Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los primos k , el mayor primo para el que esto se confirma es k = 19, para esta PA-19 encontrada por Wojciech Izykowski en 2013: 19 + 4244193265542951705·17#·n, para n = 0 a 18.
Se deduce de conjeturas ampliamente aceptadas, como la conjetura de Dickson y algunas variantes de la conjetura de la k-tupla de primos, que si p > 2 es el primo más pequeño que no divide a a, entonces hay infinitas PA-(p+1) con diferencia común a. Por ejemplo, 5 es el número primo más pequeño que no divide a 6, por lo que se espera que haya un número infinito de PA-4 con una diferencia común de 6, lo que se denomina cuadruplete de números primos sexis. Cuando a = 2 y p = 3, entonces se trata de primos gemelos, con una PA-2 formada por dos primos (b, b + 2).
Menores primos en progresión aritmética
En la tabla siguiente figuran aquellas progresiones aritméticas de k términos cuyo último término es el más pequeño.OEIS sequence A133277
+ PA-k mínimas k Primos para n= 0 hasta k−1 33 + 2n 45 + 6n 55 + 6n 67 + 30n 77 + 150n 8199 + 210n 9199 + 210n 10199 + 210n 11110437 + 13860n 12110437 + 13860n 134943 + 60060n 1431385539 + 420420n 15115453391 + 4144140n 1653297929 + 9699690n 173430751869 + 87297210n 184808316343 + 717777060n 198297644387 + 4180566390n 20214861583621 + 18846497670n 215749146449311 + 26004868890n
Mayores primos conocidos en progresión aritmética Para un número primo q dado, q# denota su primorial 2·3·5·7·...·q.
, la PA-k más larga conocida es una PA-27. Se conocen varios ejemplos de PA-26. La primera en ser descubierta fue encontrada el 12 de abril de 2010 por Benoãt Perichon en una PlayStation 3 con software de Jaroslaw Wróblewski y Geoff Reynolds, portado a PlayStation 3 por Bryan Little, en un proyecto distribuido de PrimeGrid: 43142746595714191 + 23681770·23#·n, para n = 0 a 25. (23# = 223092870)
Cuando se encontró la primera PA-26, PrimeGrid dividió la búsqueda en 131 436 182 segmentosJohn, AP26 Forum. Retrieved 2013-10-20. y se procesó con CPUs de 32/64 bits, GPU Nvidia CUDA y procesadores Cell en todo el mundo.
Anteriormente, el récord era una PA-25 encontrada por Raanan Chermoni y Jaroslaw Wróblewski el 17 de mayo de 2008: 6171054912832631 + 366384·23#·n, para n = 0 a 24. (23# = 223092870)
La búsqueda de la PA-25 se dividió en segmentos que duraron aproximadamente 3 minutos con procesadores AMD Athlon 64. Wróblewski cometó al respecto que: "Creo que la aplicación Raanan pasó por menos de 10.000.000 de esos segmentos" (esto habría tomado alrededor de 57 años de CPU en un solo Athlon 64).
El registro anterior fue una PA-24 encontrada en solitario por Jaroslaw Wróblewski el 18 de enero de 2007: 468395662504823 + 205619·23#·n, para n = 0 a 23. Para esto, Wróblewski informó que utilizó un total de 75 computadoras: 15 AMD Athlon de 64 bits, 15 Pentium D 805 de doble núcleo de 64 bits, 30 Athlon 2500 de 32 bits y 15 AMD Duron 900.
La siguiente tabla muestra las PA-k más grandes conocidas, con el año del descubrimiento y el número de dígitos en el sistema de numeración decimal del número primo final. Téngase en cuenta que la PA-k más grande conocida puede ser el final de una PA-(k+1). Algunos buscadores de récords optan por calcular primero un gran conjunto de números primos de la forma c·p#+1 con p fija, y luego buscan AP entre los valores de c que producen un número primo. Esto se refleja en la expresión de algunos registros. La expresión se puede reescribir fácilmente como a·n + b.
+ Mayor PA-k conocida Jens Kruse Andersen and Norman Luhn, Primes in Arithmetic Progression Records. Retrieved 2020-08-31. k Primos para n= 0 hasta k−1 Dígitos Año Descubridor 3(5606879602425·21290000−1) + (33·22939063 − 5606879602425·21290000)·n8847482021Ryan Propper, Serge Batalov 4(263093407 + 928724769·n)·299901−1300832022Serge Batalov 5(440012137 + 18195056·n)·30941#+1133382022Serge Batalov 6(1445494494 + 141836149·n)·16301# + 170362018Ken Davis 7(2554152639 + 577051223·n)·7927# + 134072022Serge Batalov 8(48098104751 + 3026809034·n)·5303# + 122712019Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis 9(65502205462 + 6317280828·n)·2371# + 110142012Ken Davis, Paul Underwood 10(20794561384 + 1638155407·n)·1050# + 14502019Norman Luhn 11(16533786790 + 1114209832·n)·666# + 12892019Norman Luhn 12(15079159689 + 502608831·n)·420# + 11802019Norman Luhn 13(50448064213 + 4237116495·n)·229# + 11032019Norman Luhn 14(55507616633 + 670355577·n)·229# + 11032019Norman Luhn 15(14512034548 + 87496195·n)·149# + 1682019Norman Luhn 16(9700128038 + 75782144·(n+1))·83# + 1432019Norman Luhn 17(9700128038 + 75782144·n)·83# + 1432019Norman Luhn 18(33277396902 + 139569962·(n+1))·53# + 1312019Norman Luhn 19(33277396902 + 139569962·n)·53# + 1312019Norman Luhn 2023 + 134181089232118748020·19#·n292017Wojciech Izykowski 215547796991585989797641 + 29#·n222014Jarosław Wróblewski 2222231637631603420833 + 8·41#·(n + 1)202014Jarosław Wróblewski 2322231637631603420833 + 8·41#·n202014Jarosław Wróblewski 24180688902040348237 + 262290685·23#·(n+1)192022Rob Gahan, PrimeGrid 25180688902040348237 + 262290685·23#·n192022Rob Gahan, PrimeGrid 2636621451562941339 + 267460371·23#·n192022Rob Gahan, PrimeGrid 27224584605939537911 + 81292139·23#·n182019Rob Gahan, PrimeGrid
Primos consecutivos en progresión aritmética La expresión primos consecutivos en progresión aritmética se refiere a que por lo menos figuran tres primos consecutivos que son a su vez términos consecutivos en una progresión aritmética. Téngase en cuenta que, a diferencia de en una PA-k, todos los demás números entre los términos de la progresión deben ser compuestos. Por ejemplo, la PA-3 (3, 7, 11) no se puede considerar de primos consecutivos, puesto que el 5, que también es primo, falta en la progresión.
Para un número entero k = 3, un PAPC-k es una secuencia de k números primos consecutivos en progresión aritmética. Se conjetura que hay PAPC arbitrariamente largas. Esto implicaría un número infinito de PAPC-k para todos los k. El primo de en medio en una PAPC-3 se llama número primo equilibrado. , el primo equilibrado más grande conocido tiene 15004 dígitos.
La primera PAPC-10 conocida fue encontrada en 1998 por Manfred Toplic en el proyecto computación distribuida CP10, que fue organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann.H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, Ten consecutive primes in arithmetic progression, Mathematics of Computation 71 (2002), 1323–1328. Esta PAPC-10 tiene la diferencia común más pequeña posible, 7# = 210. La única otra PAPC-10 conocida a partir de 2018 fue encontrada por el mismo equipo 2008.
Si existe un PAPC-11, debe tener una diferencia común que es un múltiplo de 11# = 2310. La diferencia entre el primero y el último de los 11 números primos sería, por lo tanto, un múltiplo de 23100. El requisito de al menos 23090 números compuestos entre los 11 números primos hace que parezca extremadamente difícil encontrar un PAPC-11. Dubner y Zimmermann estiman que sería al menos 1012 veces más difícil que un PAPC-10.Manfred Toplic, The nine and ten primes project. Retrieved on 2007-06-17.
Menores primos consecutivos en progresión aritmética
La primera aparición de una PAPC-k solo se conoce hasta k = 6 .
+ Menor PAPC-k k Primos para n= 0 hasta k−1 33 + 2n 4251 + 6n 59843019 + 30n 6121174811 + 30n
Mayores primos consecutivos conocidos en progresión aritmética La tabla muestra el caso más grande conocido de una serie de k primos consecutivos en progresión aritmética, para k = 3 a 10.
+ Mayor PAPC-k conocida ,Jens Kruse Andersen, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2020-01-28.Chris K. Caldwell, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2021-01-28. k Primos para n= 0 hasta k−1 Dígitos Año Descubridor 32494779036241 · 249800 + 1 + 6n150042022Serge Batalov 462399583639 · 9923# - 3399421607 + 30n42852021Serge Batalov 52738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30n18052022Serge Batalov 6533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30n10122021Serge Batalov 7145706980166212 · 1069# + x253 + 420 + 210n4662021Serge Batalov 88081110034864 · 619# + x253 + 210 + 210n2722021Serge Batalov 97661619169627 · 379# + x153 + 210n1672021Serge Batalov 10189382061960492204 · 257# + x106 + 210n1212021Serge Batalov
xd es un número de d dígitos utilizado en uno de los registros anteriores para garantizar un factor pequeño en los inusualmente muchos números compuestos requeridos entre los números primos. x106= 115376 22283279672627497420 78637565852209646810 56709682233916942487 50925234318597647097 08315833909447378791 x153= 9656383640115 03965472274037609810 69585305769447451085 87635040605371157826 98320398681243637298 57205796522034199218 09817841129732061363 55565433981118807417= x253 % 379# x253= 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727
Véase también Cadena de Cunningham Teorema de Szemerédi