Se conoce como constante de Kaprekar (en honor al matemático D. R. Kaprekar) al punto fijo de la aplicación iterativa de la denominada Operación de Kaprekar,Mysterious number 6174Kaprekar DR (1949). Another Solitaire Game. Scripta Mathematica, 15:244-245. que consiste en calcular la diferencia entre un número cualquiera con sus dígitos ordenados de mayor a menor y dicho número con el orden de sus dígitos de menor a mayor.
La constante de Kaprekar más conocida es el 6174, que ocurre cuando el número inicial de la operación de Kaprekar tiene cuatro dígitos y está en base 10. Por ejemplo, con el número 2435:
Se comienza con el número . Se ordenan sus dígitos en orden descendente: . Se ordenan sus dígitos en orden ascendente: . Se resta el número ascendente al número descendente: . Se repite el proceso con el resultado obtenido: . Se continúa repitiendo el proceso: . Una vez que se llega a 6174, la operación se detiene: .
Como aplicar la operación de Kaprekar a 6174 da 6174, ese número es un punto fijo; y por tanto, una constante de Kaprekar
El cero es una constante de Kaprekar trivial para todos los casos, debido a que . Lógicamente, si el número que se selecciona tiene todas sus cifras iguales, llevará a la constante trivial.
Operación de Kaprekar 300px|thumb|right|Gráfico que muestra la rutina con la que se obtiene la constante de Kaprekar 6174 El algoritmo es el siguiente:
Elíjase cualquier número natural en una base Créese un nuevo número ordenando las cifras de en orden descendente; y un nuevo número , con el orden de sus cifras ascendente. Repítase el paso anterior con el resultado de
La secuencia creada por los números obtenidos se llama secuencia de Kaprekar, y la operación de Kaprekar se puede expresar como . Los números que, al aplicar la operación, resultan en sí mismos son las constantes de Kaprekar.
Nótese que la suma de los dígitos y es igual, y por tanto tienen el mismo resto Módulo . Por tanto, todo número en base que se obtiene como resultado de la operación de Kaprekar es múltiplo de .
Base 10 Números de cuatro dígitos
En 1949 D.R. Kaprekar descubrió que si se aplica el proceso descrito anteriormente a números de cuatro dígitos en base diez, la secuencia converge a 6174 en como máximo siete iteraciones si se retienen los ceros. (excluyendo los números con sus cuatro dígitos iguales, porque llevan a la constante trivial, el 0).
En la formulación original se retienen los ceros, pero si no se retienen, hay 77 números que convergen a cero, por ejemplo el 2111:
Descartando los ceros Reteniendo los ceros miniaturadeimagen|centro|alt=El gráfico muestra las secuencias de Kaprekar para diferentes números de cuatro dígitos|832x832px
Números de tres dígitos
miniaturadeimagen|Árbol de la secuencia de Kaprekar para números de tres cifras en base 10.
Análogamente al caso de cuatro dígitos, la secuencia siempre convergerá a un valor, en este caso al 495 (la constante de Kaprekar de tres dígitos en base 10), salvo los números con tres cifras iguales que convergerán a la constante trivial.
Números con otra cantidad de dígitos
En números con cantidades de dígitos distintas de tres y cuatro, la rutina podrá converger dependiendo del valor inicial a una constante o a varias; y podrá converger también a uno o varios ciclos (por ejemplo, con números de diez dígitos existe el ciclo 8655264432 → 6431088654 → 8732087622 → 8655264432).
El número de ciclos incrementa rápidamente cuando el número de dígitos iniciales aumenta. La mayoría de ciclos tienen tres números: por ejemplo, con números de 20 cifras en base 10, de los 96 ciclos que se crean, 94 son de tres números.
Los números con una cantidad de dígitos impar tendrán menos constantes y ciclos que los números con una cantidad de dígitos par.
Constantes y ciclos de Kaprekar por bases y número de dígitos iniciales Para expresar números en bases mayores que base 10, se emplean las letras A−F para dígitos entre 11 y 16. Base Número de dígitos Constantes de Kaprekar no triviales(excluyendo el cero) Ciclos de Kaprekar 2 2 01 3 011 4 0111, 1001 5 01111, 10101 6 011111, 101101, 110001 7 0111111, 1011101, 1101001 8 01111111, 10111101, 11011001, 11100001 9 011111111, 101111101, 110111001, 111010001 3 2 3 022 → 121 → 022 4 1012 → 1221 → 1012 5 20211 6 102212 → 210111 → 122221 → 102212 7 2202101 2022211 → 2102111 → 2022211 8 21022111 9 222021001 220222101 → 221021101 → 220222101
202222211 → 210222111 → 211021111 → 202222211 4 2 03 → 21 → 03 3 132 4 3021 1332 → 2022 → 1332 5 20322 → 23331 → 20322 6 213312, 310221, 330201 7 3203211 8 31102221, 33102201, 33302001 22033212 → 31333311 → 22133112 → 22033212 9 221333112, 321032211, 332032101 5 2 13 3 143 → 242 → 143 4 3032 6 2 05 → 41 → 23 → 05 3 253 4 1554 → 4042 → 4132 → 3043 → 3552 → 3133 → 1554 5 41532 31533 → 35552 → 31533 6 325523, 420432, 530421 205544 → 525521 → 432222 → 205544 7 4405412 → 5315321 → 4405412 8 43155322, 55304201 31104443 → 43255222 → 33204323 → 41055442 → 54155311 → 44404112 → 43313222 → 31104443
42104432 → 43204322 → 42104432
53104421 → 53304221 → 53104421 7 2 3 264 → 363 → 264 4 3054 → 5052 → 5232 → 3054 8 2 25 07 → 61 → 43 → 07 3 374 4 1776 → 6062 → 6332 → 3774 → 4244 → 1776
3065 → 6152 → 5243 → 3065 5 42744 → 47773 → 42744
51753 → 61752 → 63732 → 52743 → 51753 6 437734, 640632 310665 → 651522 → 532443 → 310665 9 2 17 → 53 → 17 3 385 → 484 → 385 4 3076 → 7252 → 5254 → 3076
5074 → 7072 → 7432 → 5074 10 2 09 → 81 → 63 → 27 → 45 → 09 3 495 4 6174 5 53955 → 59994 → 53955
61974 → 82962 → 75933 → 63954 → 61974
62964 → 71973 → 83952 → 74943 → 62964 6 549945, 631764 420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876 7 7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843863317664, 9750842143208766 → 85317642 → 75308643 → 84308652 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 64308654 → 83208762 → 86526432 → 64308654 9 554999445, 864197532 865296432 → 763197633 → 844296552 → 762098733 → 964395531 → 863098632 → 965296431 → 873197622 → 865395432 →753098643 → 954197541 → 883098612 → 976494321 → 874197522 → 865296432106333176664, 9753086421, 99750842018655264432 → 6431088654 → 8732087622 → 8655264432
8653266432 → 6433086654 → 8332087662 → 8653266432
8765264322 → 6543086544 → 8321088762 → 8765264322
8633086632 → 8633266632 → 6433266654 → 4332087666 → 8533176642 → 7533086643 → 8433086652 → 8633086632
9775084221 → 9755084421 → 9751088421 → 9775084221 11 2 37 3 4A6 → 5A5 → 4A6 4 3098 → 9452 → 7094 → 9272 → 7454 → 3098
5096 → 9092 → 9632 → 7274 → 5276 → 5096 12 2 group= 3 5B6 4 3BB8 → 8284 → 6376 → 3BB8
4198 → 8374 → 5287 → 6196 → 7BB4 → 7375 → 4198 5 83B74 64B66 → 6BBB5 → 64B66 6 65BB56 420A98 → A73742 → 842874 → 642876 → 62BB86 → 951963 → 860A54 → A40A72 → A82832 → 864654 → 420A98 7 962B853 841B974 → A53B762 → 971B943 → A64B652 → 960BA53 → B73B741 → A82B832 → 984B633 → 863B754 → 841B974 8 873BB744, A850A632 4210AA98 → A9737422 → 87428744 → 64328876 → 652BB866 → 961BB953 → A8428732 → 86528654 → 6410AA76 → A92BB822 → 9980A323 → A7646542 → 8320A984 → A7537642 → 8430A874 → A5428762 → 8630A854 → A540X762 → A830A832 → A8546632 → 8520A964 → A740A742 → A8328832 → 86546654 13 2 1B → 93 → 57 → 1B 3 5C7 → 6C6 → 5C7 14 2 49 2B → 85 → 2B
0D → C1 → A3 → 67 → 0D 3 6D7 15 2 3 6E8 → 7E7 → 6E8 16 2 2D → A5 → 4B → 69 → 2D
0F → E1 → C3 → 87 → 0F 3 7F8 4 3FFC → C2C4 → A776 → 3FFC
A596 → 52CB → A596
E0E2 → EB32 → C774 → 7FF8 → 8688 → 1FFE → E0E2
E952 → C3B4 → 9687 → 30ED → E952 5 86F88 → 8FFF7 → 86F88
A3FB6 → C4FA4 → B7F75 → A3FB6
A4FA6 → B3FB5 → C5F94 → B6F85 → A4FA6 6 87FF78 310EED → ED9522 → CB3B44 → 976887 → 310EED
532CCB → A95966 → 532CCB
840EB8 → E6FF82 → D95963 → A42CB6 → A73B86 → 840EB8
A80E76 → E40EB2 → EC6832 → C91D64 → C82C74 → A80E76
C60E94 → E82C72 → CA0E54 → E84A72 → C60E94 7 C83FB74 B62FC95 → D74FA83 → C92FC64 → D85F973 → C81FD74 → E94FA62 → DA3FB53 → CA5F954 → B74FA85 → B62FC95
B71FD85 → E83FB72 → DB3FB43 → CA6F854 → B73FB85 → C63FB94 → C84FA74 → B82FC75 → D73FB83 → CA3FB54 → C85F974 → B71FD85 8 3110EEED → EDD95222 → CBB3B444 → 97768887 → 3110EEED
5332CCCB → A9959666 → 5332CCCB
7530ECA9 → E951DA62 → DB52CA43 → B974A865 → 7530ECA9
A832CC76 → A940EB66 → E742CB82 → CA70E854 → E850EA72 → EC50EA32 → EC94A632 → C962C964 → A832CC76
C610EE94 → ED82C722 → CBA0E544 → E874A872 → C610EE94
C630EC94 → E982C762 → CA30EC54 → E984A762 → C630EC94
C650EA94 → E852CA72 → CA50EA54 → E854AA72 → C650EA94
CA10EE54 → ED84A722 → CB60E944 → E872C872 → CA10EE54
Notas
Referencias
Enlaces externos Mysterious Number 6174 (artículo en inglés, sobre el misterioso número 6174) La constante de Kaprekar y otros agujeros negros matemáticos
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