En geometría, un grupo puntual en tres dimensiones es un grupo de isometría tridimensional que deja fijo el origen, o en consecuencia, un grupo de isometría de una esfera. Es un subgrupo del grupo ortogonal O(3), el grupo de todas las isometrías que dejan fijo el origen, o correspondientemente el grupo de matrices ortogonales. O(3) en sí mismo es un subgrupo del grupo euclídeo E(3) de todas las isometrías.

Los grupos de simetría de objetos geométricos son grupos de isometría. En consecuencia, el análisis de grupos de isometría es el análisis de posibles simetrías. Todas las isometrías de un objeto 3D acotado (finito) tienen uno o más puntos fijos comunes. Se sigue la convención habitual eligiendo el origen como uno de ellos.

El grupo de simetría de un objeto también se denomina a veces su grupo de simetría total, a diferencia de su grupo de simetría propio, la intersección de su grupo de simetría total con E+(3), que consta de todos las isometrías directas , es decir, isometrías que conservan la orientación. Para un objeto acotado, el grupo de simetría propio se denomina grupo de rotación. Es la intersección de su grupo de simetría total con SO(3), el grupo de rotación total del espacio 3D. El grupo de rotación de un objeto delimitado es igual a su grupo de simetría total si y solo si el objeto es quiral.

Los grupos de puntos que son generados puramente por un conjunto finito de planos de reflexión que pasan por el mismo punto son los grupos de Coxeter, representados por la notación de Coxeter.

Los grupos de puntos en tres dimensiones se usan mucho en química, especialmente para describir las simetrías de las moléculas y de los orbitales moleculares que forman los enlaces covalentes, y en este contexto también se les llama grupos de puntos moleculares.

Isometrías tridimensionales que dejan el origen fijo Las isometrías sobre un espacio tridimensional R3 que dejan fijo el origen, formando el grupo O(3), se pueden categorizar de la siguiente manera: SO(3): Identidad Rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo no igual a 180° Rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo de 180° Lo mismo con inversión (x se asigna a −x), es decir, respectivamente: Inversión Rotación alrededor de un eje por un ángulo no igual a 180°, combinado con reflexión en el plano a través del origen perpendicular al eje Reflexión en un plano a través del origen

El 4º y 5º enunciados en particular, y en un sentido más amplio también el 6º, se denominan rotaciones impropias.

Véase también el grupo de las traslaciones, de características similares.

Conjugación Al comparar el tipo de simetría de dos objetos, el origen se elige para cada uno por separado, es decir, no es necesario que tengan el mismo centro. Además, dos objetos se consideran del mismo tipo de simetría si sus grupos de simetría son subgrupos conjugados de O(3) (dos subgrupos H1, H2 de un grupo G son conjugados, si existe g ∈ G tal que H1 = g−1H2g).

Por ejemplo, dos objetos tridimensionales poseen el mismo tipo de simetría si se cumple que: Si ambos tienen simetría especular, pero con respecto a un plano especular diferente Si ambos tienen simetría rotacional triple, pero con respecto a un eje diferente En el caso de múltiples planos especulares y/o ejes de rotación, dos grupos de simetría son del mismo tipo de simetría si y solo si hay una rotación que permite aplicar toda la estructura del primer grupo de simetría con la del segundo. De hecho, habrá más de una rotación de este tipo, pero no un número infinito como cuando solo hay un plano especular o un eje. La definición de conjugación también permitiría obtener una imagen especular de la estructura, pero esto no es necesario, dado que la estructura misma es aquiral. Por ejemplo, si un grupo de simetría contiene un eje de rotación triple, contiene rotaciones en dos direcciones opuestas (es decir, la estructura es quiral para 11 pares de grupos espaciales y con un eje helicoidal).

Grupos de isometría infinita

Hay muchos grupos de isometría infinita; por ejemplo, el "grupo cíclico" (lo que significa que es generado por un elemento, que no debe confundirse con un grupo de torsión) generado por una rotación de un número irracional de vueltas alrededor de un eje. Se pueden crear grupos abelianos no cíclicos agregando más rotaciones alrededor del mismo eje. También hay grupos no abelianos generados por rotaciones alrededor de diferentes ejes. Estos suelen ser (genéricamente) grupos libres. Serán infinitos a menos que las rotaciones se elijan especialmente.

Todos los grupos infinitos mencionados hasta ahora no son cerrados como subgrupos topológicos de O(3). Aquí se analizan los subgrupos topológicamente cerrados de O(3).

Todo O(3) es el grupo de simetría de simetría esférica; siendo SO(3) el grupo de rotación correspondiente. Los otros grupos de isometría infinita consisten en todos los movimientos de rotación sobre un eje que pasa por el origen, y aquellos con reflexión adicional en los planos por el eje, y/o reflexión en el plano por el origen, perpendicular al eje. Aquellos con reflexión en los planos que pasan por el eje, con o sin reflexión en el plano por el origen perpendicular al eje, son los grupos de simetría para los dos tipos de simetría esférica. Cualquier forma 3D (subconjunto de R3) que tenga simetría rotacional infinita también debe tener simetría especular para cada plano a través del eje. Los objetos físicos, como un cono que gira alrededor de su eje, pueden tener una simetría rotacional infinita sin tener una simetría especular.

Hay siete grupos continuos que son todos los límites de los grupos de isometría finitos. Estos llamados "grupos de puntos limitantes" o "grupos limitantes de Curie" llevan el nombre de Pierre Curie, quien fue el primero en investigarlos. Las siete series infinitas de grupos axiales conducen a cinco grupos límite (dos de ellos son duplicados), y los siete grupos puntuales restantes producen dos grupos continuos más. En notación internacional, la lista es ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ y ∞∞m.

Grupos de isometría finitos Las simetrías en 3D que dejan fijo el origen se caracterizan completamente por simetrías en una esfera centrada en el origen. Para grupos finitos de puntos 3D, véase también el artículo sobre los grupos de simetría esférica.

Teniendo en cuenta la conjugación, el conjunto de grupos de puntos 3D finitos consta de: 7 series infinitas con como máximo un eje de rotación de más de multiplicidad doble; son los grupos de simetría finitos en una superficie cilíndrica infinita, o de manera equivalente, los de un cilindro finito. A veces se denominan grupos de puntos axiales o prismáticos. 7 grupos de puntos con múltiples ejes de rotación de multiplicidad 3 o más. También se pueden caracterizar como grupos de puntos con múltiples ejes de rotación triples, porque los 7 incluyen estos ejes; con respecto a los ejes de rotación triples, las combinaciones posibles son: 4 ejes triples 4 ejes triples y 3 ejes cuádruples 10 ejes triples y 6 ejes quíntuples Según el teorema de restricción cristalográfica, un número limitado de grupos de puntos es compatible con la simetría traslacional discreta: 27 de las 7 series infinitas y 5 de las otras 7. Juntos, forman los llamados 32 grupos de puntos cristalográficos.

Las siete series infinitas de grupos axiales

Las series infinitas de grupos axiales o prismáticos tienen un índice n, que puede ser cualquier número entero. En cada serie, el grupo de simetría n contiene simetría rotacional de multiplicidad n sobre un eje, es decir, simetría con respecto a una rotación en un ángulo de 360°/n. n=1 cubre los casos sin simetría rotacional. Hay cuatro series sin otros ejes de simetría rotacional (véase simetrías cíclicas) y tres con ejes adicionales de simetría doble (véase grupo diedral). Pueden entenderse como grupos de puntos en dos dimensiones extendidos con una coordenada axial y reflexiones en ella. Están relacionados con los frisos, y pueden interpretarse como patrones de grupos de frisos repetidos n veces alrededor de un cilindro.

La siguiente tabla enumera varias notaciones para grupos de puntos, utilizando la notación de Hermann-Mauguin (usada en cristalografía), la notación de Schönflies (usada para describir la simetría molecular), la notación orbifold y la notación de Coxeter. Los tres últimos no solo están convenientemente relacionados con sus propiedades, sino también con el orden del grupo. La notación orbifold es una notación unificada, también aplicable para el grupo del papel pintado y para los frisos. Los grupos cristalográficos tienen n restringida a 1, 2, 3, 4 y 6; la eliminación de la restricción cristalográfica permite cualquier número entero positivo. La serie de elementos resultante es: Internac.SchoenfliesOrbifoldCoxeter FrisoEstructuraOrdenEjemploComentarios n par n impar(cilindro)nCnnn[n]+p1ZnnSimetría rotacional de orden nS2nn×[2n+,2+]p11gZ2n2nSimetría de rotación impropia de orden 2nn/mCnhn*[n+,2]p11mZn×Z22nnmmnmCnv*nn[n]p1m1Dihn2nSimetría piramidal;en biología, simetría birradialn22n2Dn22n[n,2]+p211Dihn2nSimetría diédrica2mmDnd2*n[2n,2+]p2mgDih2n4nSimetría antiprismátican/mmm2mDnh*22n[n,2]p2mmDihn×Z24nSimetría prismática

Para n impar se tiene que Z2n = Zn × Z2 y Dih2n = Dihn × Z2.

Los grupos Cn (incluido el trivial C1) y Dn son quirales, los demás son aquirales.

Los términos horizontal (h) y vertical (v), y los subíndices correspondientes, se refieren al plano especular adicional, que puede ser paralelo al eje de rotación (vertical) o perpendicular al eje de rotación (horizontal).

Los grupos axiales no triviales más simples son equivalentes al grupo abstracto Z2: Ci (equivalente a S2) – simetría de inversión C2 – 2 veces simetría rotacional Cs (equivalente a C1hy C1v) – simetría especular, también llamado de simetría bilateral.

El segundo de ellos es el primero de los grupos uniaxiales (grupos cíclicos) Cn de orden n (también aplicable en 2D), que son generados por una sola rotación en un ángulo de 360°/n. Además de esto, se puede agregar un plano especular perpendicular al eje, dando el grupo Cnh de orden 2n, o un conjunto de n planos especulares que contienen el eje, dando el grupo Cnv, también de orden 2n. Este último es el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados. Un objeto típico con el grupo de simetría Cn o Dn es una hélice.

Si se agregan los planos de reflexión horizontal y vertical, sus intersecciones dan n ejes de rotación de 180°, por lo que el grupo ya no es uniaxial. Este nuevo grupo de orden 4n se denomina Dnh. Su subgrupo de rotaciones es el grupo diédrico Dn de orden 2n, que todavía tiene los ejes de rotación dobles perpendiculares al eje de rotación principal, pero no tiene planos de simetría especular.

Nota: en 2D, Dn incluye reflexiones, que también se pueden ver como voltear objetos planos sin distinción de anverso y reverso; pero en 3D, se distinguen las dos operaciones: Dn incluye la operación de voltear, pero no las reflexiones.

Hay un grupo más en esta familia, llamado Dnd (o Dnv), que tiene planos especulares verticales que contienen el eje de rotación principal, pero en lugar de tener un plano especular horizontal, tiene una isometría que combina una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo de 180°/n. Dnh es el grupo de simetría de un prisma regular n-gonal y también para una bipirámide regular n-gonal. Dnd es el grupo de simetría para un antiprisma regular n-gonal, y también para un trapezoedro regular n-gonal. Dn es el grupo de simetría de un prisma parcialmente rotado (retorcido).