derecha|miniaturadeimagen|300x300px|La forma más fácil de examinar un reloj es compararlo con un reloj de referencia mucho más preciso. Durante un intervalo de tiempo τ, medido por el reloj de referencia, el reloj bajo prueba avanza en τy, donde y es la frecuencia media (relativa) del reloj durante ese intervalo. Si medimos dos intervalos consecutivos como se muestra, podemos obtener un valor de (y - y′)2 - un valor menor indica un reloj más estable y preciso. Si repetimos este procedimiento muchas veces, el valor medio de (y - y′)2 es igual al doble de la varianza de Allan (o desviación de Allan al cuadrado) para el tiempo de observación τ.
La varianza de Allan (abreviadamente en inglés, AVAR,), también conocida como varianza de dos muestras, es una medida de estabilidad de la frecuencia en relojes, osciladores y amplificadores. Lleva el nombre de David W. Allan y se expresa matemáticamente como .
La desviación de Allan (abreviado en inglés, ADEV), también conocida como sigma-tau, es la raíz cuadrada de la varianza de Allan, .
La varianza de M muestras es una medida de la estabilidad de la frecuencia utilizando M muestras, el tiempo T entre las mediciones y el tiempo de observación . La varianza de M muestras se expresa como
La varianza de Allan tiene por objeto estimar la estabilidad debida a los procesos de ruido y no la de los errores sistemáticos o las imperfecciones, como la deriva de la frecuencia o los efectos de la temperatura. La varianza Allan y la desviación Allan describen la estabilidad de la frecuencia. Véase también el apartado Interpretación del valor más abajo.
También existen diferentes adaptaciones o alteraciones de la varianza de Allan, especialmente la varianza de Allan modificada MAVAR o MVAR, la varianza total y la varianza de Hadamard. También existen variantes de la estabilidad temporal, como la desviación temporal (TDEV) o la varianza temporal (TVAR). La varianza de Allan y sus variantes han demostrado su utilidad fuera del ámbito de la medición del tiempo y son un conjunto de herramientas estadísticas mejoradas que se utilizan siempre que los procesos de ruido no son incondicionalmente estables, por lo que existe una derivada.
La varianza general de M muestras sigue siendo importante, ya que permite determinar el tiempo muerto (el tiempo después de cada evento durante el cual el sistema no puede registrar otro evento en las mediciones), y las funciones de sesgo permiten la conversión en valores de varianza de Allan. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones, el caso especial de 2 muestras, o "varianza de Allan" con es el de mayor interés. derecha|miniaturadeimagen|300x300px|Gráfica ejemplo de la desviación de Allan de un reloj. Con un tiempo de observación τ muy corto, la desviación de Allan es alta debido al ruido. Con un tiempo τ más largo, disminuye porque el ruido se promedia. A un tiempo τ aún mayor, la desviación de Allan comienza a aumentar de nuevo, lo que sugiere que la frecuencia del reloj se desvía gradualmente debido a los cambios de temperatura, el envejecimiento de los componentes u otros factores similares. Las barras de error aumentan con τ simplemente porque se tarda mucho en obtener muchos puntos de datos para τ grandes.
Antecedentes Al investigar la estabilidad de los osciladores de cristal y los relojes atómicos, se descubrió que no tenían un ruido de fase compuesto únicamente por ruido blanco, sino también por ruido de frecuencia de parpadeo. Estas formas de ruido se convierten en un reto para las herramientas estadísticas tradicionales, como la desviación estándar, ya que el estimador no converge. Por tanto, se dice que el ruido es divergente. Los primeros esfuerzos por analizar la estabilidad incluyeron tanto análisis teóricos como mediciones prácticas.
Una importante consecuencia colateral de contar con estos tipos de ruido era que, al no coincidir los distintos métodos de medición entre sí, no se podía conseguir el aspecto clave de la repetibilidad de una medición. Esto limita la posibilidad de comparar fuentes y hacer especificaciones significativas para exigir a los proveedores. Esencialmente, todas las formas de uso científico y comercial se limitaron entonces a mediciones dedicadas, que se espera que capten la necesidad de esa aplicación.
Para abordar estos problemas David Allan introdujo la varianza de M muestras e (indirectamente) la varianza de dos muestras.Allan, D. Statistics of Atomic Frequency Standards, pages 221–230. Proceedings of the IEEE, Vol. 54, No 2, febrero de 1966. Aunque la varianza de dos muestras no permitía distinguir completamente todos los tipos de ruido, proporcionaba un medio para separar de forma significativa muchas formas de ruido para las series temporales de mediciones de fase o frecuencia entre dos o más osciladores. Allan proporcionó un método para convertir cualquier varianza de M muestras en cualquier varianza de N muestras a través de la varianza común de dos muestras, haciendo así comparables todas las varianzas de M muestras. El mecanismo de conversión también demostró que la varianza de M muestras no converge para valores grandes de M, lo que las hace menos útiles. El IEEE identificó posteriormente la varianza de 2 muestras como la medida preferida.
Una de las primeras preocupaciones estaba relacionada con los instrumentos de medición de tiempo y frecuencia que tenían un tiempo muerto entre las mediciones. Estas series de mediciones no formaban una observación continua de la señal y, por tanto, introducían un sesgo sistemático en la medición. Se puso mucho cuidado en la estimación de estos sesgos. La introducción de los contadores de tiempo muerto cero eliminó esta necesidad, pero las herramientas de análisis de los sesgos han resultado útiles.
Otro aspecto que preocupaba al principio estaba relacionado con la forma en que el ancho de banda del instrumento de medición influiría en la medición, de manera que era necesario tomar nota. Más tarde se comprobó que cambiando algorítmicamente la observación sólo los valores bajos de se verían afectados, mientras que los valores más altos no lo harían. El cambio de se hace dejando que sea un múltiplo entero de la base de tiempo de medición :
La física de los osciladores de cristal fue analizada por D. B. Leeson, y el resultado se conoce ahora como ecuación de Leeson. La retroalimentación en el oscilador hará que el ruido blanco y el ruido de parpadeo del amplificador de retroalimentación y del cristal se conviertan en los ruidos de color de frecuencia de ruido blanco y de frecuencia de ruido de parpadeo respectivamente. Estas formas de ruido tienen el efecto de que el estimador de varianza estándar no converge al procesar las muestras de error temporal. Esta mecánica de los osciladores de retroalimentación era desconocida cuando se iniciaron los trabajos sobre la estabilidad de los osciladores, pero fue presentada por Leeson al mismo tiempo que el conjunto de herramientas estadísticas fue puesto a disposición por David W. Allan. Para una presentación más completa del efecto Leeson, véase la literatura moderna sobre el ruido de fase.
Interpretación del valor La varianza de Allan se define como la mitad de la media temporal de los cuadrados de las diferencias entre las lecturas sucesivas de la desviación de la frecuencia muestreada a lo largo del periodo de muestreo. La varianza de Allan depende del período de tiempo utilizado entre las muestras, por lo tanto, es una función del período de muestreo, comúnmente denotado como , al igual que la distribución que se está midiendo, y se muestra como un gráfico en lugar de un solo número. Una varianza Allan baja es una característica de un reloj con buena estabilidad a lo largo del periodo medido.
La desviación de Allan se utiliza ampliamente para las gráficas (convencionalmente en formato log-log) y la presentación de los números. Se prefiere, ya que da la estabilidad de la amplitud relativa, lo que permite una fácil comparación con otras fuentes de error.
Una desviación de Allan de 1,3×10-9 en un tiempo de observación de 1 s (es decir, = 1 s) debe interpretarse como la existencia de una inestabilidad en la frecuencia entre dos observaciones separadas por 1 segundo con un valor medio cuadrático relativo (RMS) de 1,3×10-9. Para un reloj de 10 MHz, esto equivaldría a un movimiento RMS de 13 mHz. Si se necesita la estabilidad de fase de un oscilador, hay que consultar y utilizar las variantes de desviación temporal.
Se puede convertir la varianza de Allan y otras varianzas del dominio del tiempo en medidas del dominio de la frecuencia de la estabilidad del tiempo (fase) y de la frecuencia.http://www.allanstime.com/Publications/DWA/Conversion_from_Allan_variance_to_Spectral_Densities.pdf.
Definiciones
Varianza de M muestras La varianza de M muestras se define (aquí en una forma de notación modernizada) como
donde es la lectura del reloj (en segundos) medida en el momento , o con la serie temporal de frecuencia media fraccionaria
donde es el número de muestras de frecuencia utilizadas en la varianza, es el tiempo entre cada muestra de frecuencia, y es la duración de cada estimación de frecuencia.
Un aspecto importante es que la varianza de muestras puede incluir el tiempo muerto dejando que el tiempo sea diferente al de .
Varianza de Allan La varianza de Allan se define como
donde denota valor esperado. Esto se puede expresar convenientemente como
donde es el período de observación, e es la enésima frecuencia fraccionaria media a lo largo del tiempo de observación .
Las muestras se toman sin tiempo muerto entre ellas, lo que se consigue dejando
Desviación de Allan Al igual que la desviación estándar y la varianza, la desviación de Allan se define como la raíz cuadrada de la varianza de Allan:
Definiciones de apoyo
Modelo de oscilador Se supone que el oscilador analizado sigue el modelo básico de
Se supone que el oscilador tiene una frecuencia nominal de dada en ciclos por segundo (unidad del SI: hertz). La frecuencia angular nominal (en radianes por segundo) viene dada por
La fase total puede separarse en un componente perfectamente cíclico junto con un componente fluctuante :
Error temporal La función de error temporal x(t) es la diferencia entre el tiempo nominal esperado y el tiempo normal real:
Para los valores medidos se define una serie de errores temporales TE(t) a partir de la función temporal de referencia Tref(t) como
Función de frecuencia La función de frecuencia es la frecuencia a lo largo del tiempo, definida como
Frecuencia fraccionaria La frecuencia fraccionaria y(t) es la diferencia normalizada entre la frecuencia y la frecuencia nominal :
Frecuencia fraccionaria media La frecuencia fraccionaria media se define como
donde la media se toma sobre el tiempo de observación , y(t) es el error de frecuencia fraccional en el tiempo t, y es el tiempo de observación.
Como y(t) es la derivada de x(t), podemos reescribirla sin pérdida de generalidad como
Estimadores Esta definición se basa en el valor estadístico esperado, que se integra en un tiempo infinito. La situación en el mundo real no permite este tipo de series temporales, en cuyo caso es necesario utilizar un estimador estadístico en su lugar. Se presentarán y discutirán varios estimadores diferentes.
Convenciones
Estimadores de τ fijo Un primer estimador sencillo sería traducir directamente la definición en
o para las series temporales:
Sin embargo, estas fórmulas sólo proporcionan el cálculo para el caso . Para calcular para un valor diferente de , es necesario proporcionar una nueva serie temporal.
Estimadores τ de variables no solapadas