thumb|491px|Relación entre el grupo lineal especial proyectivo PSL y el grupo lineal general proyectivo PGL; cada fila y columna es una sucesión exacta. El conjunto $(F^*)^n$ aquí está destinado a ser el conjunto de las $n$-ésimas potencias
En matemáticas, especialmente en el área de la teoría de grupos de álgebra, el grupo lineal proyectivo (también conocido como el grupo lineal general proyectivo o PGL) es la acción inducida del grupo lineal general de un espacio vectorial V en el espacio proyectivo P asociado a (V). Explícitamente, el grupo lineal proyectivo es el grupo cociente PGL (V) = GL (V) / Z (V) donde GL (V) es el grupo lineal general de V y Z (V) es el subgrupo de todas las matrices diagonales distintas de cero de V, que están coorientados porque actúan trivialmente sobre el espacio proyectivo y forman el núcleo de la acción, y la notación Z refleja que las transformaciones escalares forman el centro del grupo lineal general.
El grupo lineal especial proyectivo, PSL, se define de forma análoga, como la acción inducida del grupo lineal especial sobre el espacio proyectivo asociado. Explícitamente: PSL (V) = SL (V) / SZ (V) donde SL (V) es el grupo lineal especial sobre V y SZ (V) es el subgrupo de transformaciones escalares con determinante unidad. Aquí SZ es el centro de SL, y se identifica naturalmente con el grupo de las n-ésimas raíces de la unidad en F (donde n es la dimensión de V y F es la base del cuerpo).
PGL y PSL son algunos de los grupos fundamentales de estudio, parte de los llamados grupos clásicos, y un elemento de PGL se denomina transformación lineal proyectiva, transformación proyectiva u homografía. Si V es el n-espacio vectorial dimensional sobre un cuerpo F, es decir, , también se utilizan las notaciones alternativas y .
Se debe tener en cuenta que y son isomórficos si y solo si cada elemento de F tiene una raíz nésima en F. Como ejemplo, téngase en cuenta que , pero que ;Gareth A. Jones and David Singerman. (1987) Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint. Cambridge UP. Discussion of PSL and PGL on page 20 in google books esto corresponde a que la recta proyectiva real es orientable, y el grupo lineal especial proyectivo solo son las transformaciones que conservan la orientación.
PGL y PSL también se pueden definir sobre un anillo, siendo un ejemplo importante el grupo modular, .
Nombre El nombre proviene de geometría proyectiva, donde el grupo proyectivo que actúa sobre coordenadas homogéneas (x0: x1: ...: xn) es el grupo subyacente de la geometría.Por lo tanto, es PGL(n + 1, F) para el espacio proyectivo de dimensión n Dicho de otra manera, la acción natural de GL (V) en V se reduce a una acción del PGL (V) en el espacio proyectivo P (V).
Por lo tanto, los grupos lineales proyectivos generalizan el caso PGL (2, C) de transformaciones de Möbius (a veces llamado directamente transformación de Möbius), que actúa sobre la recta proyectiva.
Téngase en cuenta que a diferencia del grupo lineal general, que generalmente se define axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal (del espacio vectorial)", el grupo lineal proyectivo se define "constructivamente", como un cociente del grupo lineal general del espacio vectorial asociado, en lugar de axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal proyectiva". Esto se refleja en la notación: PGL (n, F) es el grupo asociado a GL (n, F), y es el grupo lineal proyectivo del espacio proyectivo (n- 1)-dimensional, y no del espacio proyectivo n-dimensional.
Colineaciones
Un grupo relacionado es la colineación, que se define axiomáticamente. Una colineación es una aplicación invertible (o más generalmente, uno a uno) que conserva la colinealidad entre puntos colineales. Se puede definir axiomáticamente un espacio proyectivo en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas rectas L y una matriz de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas rectas) que satisfacen ciertos axiomas: un automorfismo de un espacio proyectivo así definido siendo entonces un automorfismo f del conjunto de puntos y un automorfismo g del conjunto de líneas rectas, conservando la relación de incidencia,"Preservar la relación de incidencia "significa que si el punto p está en una línea recta l entonces f(p) está en g(l); formalmente, si (p, l) ∈ I entonces (f(p), g(l)) ∈ I. que es exactamente una colineación de un espacio sobre sí mismo. Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas rectas a líneas rectas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas (el PGL es en general un subgrupo propio del grupo de colineación).
Específicamente, para n = 2 (una línea recta proyectiva), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la recta proyectiva, y excepto para F2 y F3 (donde PGL es el grupo simétrico completo), PGL es un subgrupo propio del grupo simétrico completo en estos puntos.
Para n ≥ 3, el grupo de colineación es un grupo proyectivo semilineal, PΓL - esto es PGL, sometido a torsión por automorfismos; formalmente, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), donde k es la característica de K; que se define como una homografía. Así, para K un cuerpo primo (Fp o Q), se tiene que PGL = PΓL, pero cuando K es un cuerpo con automorfismos de Galois no triviales (como para n ≥ 2 o C), el grupo lineal proyectivo es un subgrupo propio del grupo de colineación, que puede considerarse como las "transformaciones que conservan una estructura proyectiva semilineal". En consecuencia, el grupo de cocientes PΓL / PGL = Gal(K/k) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente.
También se pueden definir grupos de colineación para espacios proyectivos axiomáticamente definidos, donde no existe una noción natural de una transformación proyectiva "lineal". Sin embargo, con la excepción del plano no desarguesiano, todos los espacios proyectivos son la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división aunque, como se señaló anteriormente, hay múltiples opciones de estructura lineal, como un torsor sobre Gal(K/k) (para n ≥ 3).
Elementos Los elementos del grupo lineal proyectivo pueden entenderse como "inclinar el plano" respecto a uno de los ejes, y luego proyectarlo sobre el plano original, y también tienen dimensión n.
thumb|La rotación sobre los ejes z gira el plano proyectivo, mientras que la proyectivización de la rotación sobre líneas paralelas a los ejes x o y produce rotaciones proyectivas del plano
Una forma geométrica más familiar para entender las transformaciones proyectivas es a través de rotaciones proyectivas (los elementos de PSO (n + 1)), que corresponde a la proyección estereográfica de rotaciones de la hiperesfera unidad, que tiene dimensión . Visualmente, corresponde a situarse en el origen (o colocar una cámara en el origen), girar el ángulo de visión y luego proyectar sobre un plano. Las rotaciones en ejes perpendiculares al hiperplano conservan el hiperplano y producen una rotación del hiperplano (un elemento de SO (n), que tiene dimensión ), mientras que las rotaciones en ejes paralelos al hiperplano son transformaciones proyectivas propias, y representan las n dimensiones restantes.
Propiedades PGL envía puntos colineales a puntos colineales (conserva las líneas rectas proyectivas), pero no comprende el grupo colineal completo, que en cambio es PΓL (para n> 2) o el grupo simétrico completo para n = 2 (la recta proyectiva). Todo automorfismo algebraico (birregular) de un espacio proyectivo es lineal proyectivo. Los automorfismos birracionales forman un grupo más grande, el grupo de Cremona. PGL actúa fielmente sobre el espacio proyectivo: los elementos no identitarios actúan de forma no trivial. Concretamente, el núcleo de la acción de GL sobre el espacio proyectivo son exactamente las transformaciones escalares, que están coorientadas en PGL. PGL actúa 2-transitivamente en el espacio proyectivo. Esto se debe a que 2 puntos distintos en el espacio proyectivo corresponden a 2 vectores que no se encuentran en un solo espacio lineal, y por lo tanto son linealmente independientes, y GL actúa transitivamente en k-conjuntos de elementos de vectores linealmente independientes. PGL (2, K) actúa consistentemente de forma 3-transitiva en la recta proyectiva. 3 puntos arbitrarios se transforman convencionalmente a [0, 1], [1, 1], [1, 0]; en notación alternativa, 0, 1, ∞. En notación de transformación lineal fraccionaria, la función mapea a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞, y es la única aplicación de este tipo que lo hace. Esta es la razón anarmónica (x, b; a, c); consúltese relación cruzada: enfoque transformacional para obtener más detalles. Para n ≥ 3, PGL (n, K) no actúa 3-transitivamente, porque debe enviar 3 puntos colineales a otros 3 puntos colineales, no un conjunto arbitrario. Para n = 2, el espacio es la línea proyectiva, por lo que todos los puntos son colineales y esto no es una restricción. PGL (2, K) no actúa 4-transitivamente en la recta proyectiva (excepto para PGL (2, 3), ya que P 1 (3) tiene 3 + 1 = 4 puntos , por lo que la 3-transitividad implica 4-transitividad); el invariante que se conserva es la razón anarmónica, y esto determina dónde se envía el resto de puntos: especificar dónde se transforman 3 puntos determina la transformación. Así, en particular, no es el grupo de colineación completo de la recta proyectiva (excepto para F2 y F3). PSL (2, q) y PGL (2, q) (para q> 2 y q impar para PSL) son dos de las cuatro familias del grupo de Zassenhaus. PGL (n, K) es un grupo algebraico de dimensión n2 − 1 y un subgrupo abierto del espacio proyectivo Pn2−1. Como se define, el funtor PSL (n, K) no define un grupo algebraico, ni siquiera un haz fppf, y su haz en la topología fppf es de hecho PGL (n, K). PSL y PGL son centro de un grupo: esto se debe a que las matrices diagonales no solo son el centro, sino también el hipercentro (el cociente de un grupo por su centro no necesariamente carece de centro).Para PSL (excepto PSL (2, 2) y PSL (2, 3)) esto se deduce por el lema de Grün porque SL es un grupo perfecto (por lo tanto, centro es igual a hipercentro), pero para PGL y los dos PSL excepcionales, esto requiere una verificación adicional.
Transformaciones lineales fraccionarias
En cuanto a las transformaciones de Möbius, el grupo PGL (2, K) se puede interpretar como transformaciones lineales fraccionarias con coeficientes en K. Los puntos en la recta proyectiva sobre K corresponden a pares de K2, siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales. Cuando la segunda coordenada es distinta de cero, un punto se puede representar mediante [z, 1]. Entonces, cuando ad - bc ≠ 0, la acción de PGL (2, K) es por transformación lineal:
De esta manera, las transformaciones sucesivas pueden escribirse como multiplicaciones propias por tales matrices, y la multiplicación de matrices puede usarse para el producto de grupo en PGL (2, K).
Cuerpos finitos Los grupos lineales especiales proyectivos PSL (n, Fq) para un cuerpo finito Fq a menudo se escriben como PSL (n, q ) o Ln (q). Son grupos simples finitos siempre que n sea al menos 2, con dos excepciones:Proof: Math 155r 2010, Handout #4, Noam Elkies L2(2), que es isomorfo a S3, el grupo simétrico en 3 letras y es resoluble; y L2(3), que es isomorfo a A4, el grupo alternante en 4 letras, y también tiene solución. Estos isomorfismos excepcionales pueden entenderse como derivados del acción en la recta proyectiva.