En matemáticas, un espacio coordenado real o espacio de coordenadas reales de dimensión , escrito o es un espacio vectorial sobre los números reales. Esto significa que es el conjunto de las -tuplas formadas por números reales (secuencias de números reales). Con la suma de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial.
Normalmente, las coordenadas cartesianas de los elementos de un espacio euclídeo forman un espacio de coordenadas reales. Esto explica el nombre de "espacio de coordenadas" y el hecho de que los términos geométricos se utilizan a menudo cuando se trabaja en ellos. Por ejemplo, es un plano.
Los espacios de coordenadas se utilizan mucho en geometría y física, ya que sus elementos permiten ubicar puntos en espacios euclídeos y calcular con ellos.
Definición y estructuras Para cualquier número natural , el conjunto consta de todas las -tuplas de números reales (). Se le denomina "espacio real -dimensional" o el "-espacio real".
Por lo tanto, un elemento de es una -tupla , y se escribe
donde cada es un número real. Entonces, en cálculo multivariable, el dominio de una función multivariable real y el codominio de una función vectorial valuada real son subconjuntos de para algunos .
El espacio -real tiene varias propiedades más, en particular: Con la adición de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial. Cada espacio vectorial real de dimensión es isomorfo a él. Con el producto escalar (suma del producto término a término de las componentes), es un espacio prehilbertiano. Cada espacio con producto interno real -dimensional es isomorfo a él. Como todo espacio con producto interno, es un espacio topológico y un espacio vectorial topológico. Es un espacio euclídeo y un espacio afín real, y cada espacio euclidiano o afín es isomorfo a él. Es una variedad analítica y puede considerarse como el prototipo de todas las variedades, ya que, por definición, una variedad es, cerca de cada punto, isomorfa a un conjunto abierto de . Es una variedad algebraica, y cada variedad algebraica real es un subconjunto de .
Estas propiedades y estructuras de lo hacen fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas y sus dominios de aplicación, como estadística, teoría de la probabilidad y muchas partes de la física.
Dominio de una función de múltiples variables
Cualquier función de variables reales se puede considerar como una función en (es decir, con como su dominio). El uso del espacio real, en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables. Considérese, para , una función compuesta de la siguiente forma:
donde las funciones y son continuas. Si es continua (por ) es continua (por ) entonces no es necesariamente continua. La continuidad es una condición más fuerte: la continuidad de en la topología natural (analizada más abajo), también llamada continuidad multivariable, que es suficiente para la continuidad de la composición .
Espacio vectorial El espacio de coordenadas forma un espacio vectorial dimensional sobre el cuerpo de números reales con la adición de la estructura de linealidad, y a menudo todavía se denota como . Las operaciones en como un espacio vectorial se definen típicamente por
El vector cero viene dado por
y el opuesto del vector viene dado por
Esta estructura es importante, porque cualquier espacio vectorial real de dimensión es isomorfo al espacio vectorial .
Notación matricial
En la notación estándar matricial, cada elemento de se escribe típicamente como un vector columna
y a veces como un vector fila:
El espacio de coordenadas puede interpretarse entonces como el espacio de todos los vectores columna, o todos los vectores fila con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar.
Las aplicaciones lineales de a pueden escribirse como matrices que actúan sobre los elementos de mediante la multiplicación por la izquierda (cuando los elementos de son vectores columna) y sobre los elementos de mediante la multiplicación por la derecha (cuando son vectores fila). La fórmula para la multiplicación por la izquierda, un caso especial de multiplicación de matrices, es:
Cualquier transformación lineal es un función continua (véase más adelante). Además, una matriz define una aplicación abierta de a si y solo si el rango de la matriz es igual a .
Base estándar
El espacio de coordenadas está asociado con una base de vectores estándar:
Para ver que forman una base, basta con tener en cuenta que un vector arbitrario en se puede escribir de manera única en la forma
Propiedades geométricas y usos
Orientación El hecho de que los números reales, a diferencia de muchos otros cuerpos, constituyen un cuerpo ordenado, produce una estructura orientada en . Cualquier aplicación lineal de rango completo de sobre sí mismo conserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si se permutan las coordenadas (o, en otras palabras, los elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación.
Los difeomorfismos de o sobre sus dominios, por su virtud de evitar jacobianos nulos, también se clasifican según la conservación de la orientación o el cambio a la orientación inversa. Tiene importantes consecuencias para la teoría de formas diferenciales, cuyas aplicaciones incluyen el electromagnetismo.
Otra manifestación de esta estructura es que la reflexión de un punto de tiene diferentes propiedades dependiendo de la paridad de . Para par conserva la orientación, mientras que para impar se invierte (véase también rotación impropia).
Espacio afín
entendido como espacio afín es el mismo espacio en el que actúa como un espacio vectorial mediante traslaciones. Por el contrario, un vector debe entenderse como una "diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrada por un segmento dirigido que conecta dos puntos. La distinción dice que no hay opción canónica acerca de dónde debe localizarse el origen de coordenadas en un -espacio afín, porque se puede trasladar a cualquier lugar sin alterar sus propiedades.
Convexidad
En un espacio vectorial real, como , se puede definir un cono convexo, que contiene todas las combinaciones lineales "no negativas" de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es el de convexidad, que permite solo combinaciones covexas (combinaciones lineales no negativas que suman 1).
En el lenguaje del álgebra universal, un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal de secuencias finitas de coeficientes, correspondientes a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de secuencias finitas sumando 1), un cono es un álgebra sobre el ortante universal (de secuencias finitas de números no negativos), y un conjunto convexo es un álgebra sobre el símplex universal (de secuencias finitas de números no negativos que suman 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".
Otro concepto del análisis convexo es el de una función convexa de sobre los números reales, que se define mediante una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de valores en aquellos puntos con los mismos coeficientes.
Espacio euclídeo
El producto escalar
define la norma en el espacio vectorial . Si cada vector tiene su norma euclídea, entonces para cualquier par de puntos se define la distancia
proporcionando una estructura de espacio métrico en además de su estructura afín.
En cuanto a la estructura del espacio vectorial, generalmente se supone que el producto escalar y la distancia euclidea existen en sin explicaciones especiales. Sin embargo, el -espacio real y un -espacio euclidiano son objetos distintos, estrictamente hablando. Cualquier -espacio euclídeo tiene un sistema de coordenadas donde el producto escalar y la distancia euclídea tienen la forma que se muestra arriba, llamada cartesiana. Pero hay "muchos" sistemas de coordenadas cartesianos en un espacio euclídeo.
Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclídea define la estructura euclídea "estándar" en , pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma bilineal definida establece su propia "distancia" , pero no es muy diferente de la euclídea en el sentido de que
Tal cambio de la métrica conserva algunas de sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de ser un espacio métrico completo. Esto también implica que cualquier transformación lineal de rango completo de , o su transformación afín, no aumenta las distancias más que en algunos fijos, y no hace que las distancias sean más pequeñas que veces, es decir, un número finito fijo de veces más pequeñas.
La equivalencia mencionada anteriormente de funciones métricas sigue siendo válida si se reemplaza por , donde es cualquier función homogénea convexa positiva de grado 1, es decir, una norma vectorial (consúltese la distancia de Minkowski para ver ejemplos útiles). Debido a este hecho de que cualquier métrica "natural" en no es especialmente diferente de la métrica euclídea, no siempre se distingue de un espacio euclídeo incluso en trabajos matemáticos profesionales.
En geometría algebraica y diferencial Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea , esta opción es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial.
Por otro lado, los teoremas de inclusión de Whitney afirman que cualquier variedad -dimensional diferenciable real puede ser encajada en .
Otras estructuras relacionadas Otras estructuras consideradas en incluyen el espacio pseudo-euclídeo, la topología simpléctica (incluso ) y la estructura de contacto (con impar). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse sin coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente simples) en coordenadas.
es también un subespacio vectorial real de que es invariante a la conjugación; véase también complejificación.
Politopos en Rn
Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios , para cualquier , y se pueden usar para visualizar cualquier sistema de coordenadas afines en un espacio real. Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas donde cada toma uno de solo dos valores, generalmente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números cualesquiera en lugar de 0 y 1, por ejemplo −1 y 1. Se puede pensar en un hipercubo como en el producto cartesiano de intervalos idénticos (como el intervalo unidad [0,1]) en la recta real. Como un subconjunto dimensional , se puede describir con un sistema de desigualdades: (para [0,1]) (para [-1,1])
Cada vértice del politopo de cruce tiene, para algunos , la coordenada igual a ±1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (tal que es el -ésimo vector de la base estándar incluido su signo). Se obtiene un poliedro conjugado del hipercubo. Como un subconjunto de dimensiones, se puede describir con una única desigualdad que utiliza la operación valor absoluto:
pero esto también se puede expresar con un sistema de desigualdades lineales.
El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el símplex, cuyos vértices son los vectores base estándar y el origen . Como un subconjunto dimensional, se describe con un sistema de desigualdades lineales:
El reemplazo de todos los signos "≤" por "<" permite obtener los interiores de estos politopos.
Propiedades topológicas