En física, una transformación de paridad (también llamada inversión de paridad) es el cambio en el signo de una coordenada espacial. En tres dimensiones, también puede referirse al cambio simultáneo en el signo de las tres coordenadas espaciales (una reflexión respecto a un punto):
También puede ser pensada como una prueba de la quiralidad de un fenómeno físico, en el que una inversión de paridad transforma un fenómeno en su imagen especular.
Todas las interacciones fundamentales de las partículas elementales, con la excepción de la interacción débil, son simétricas bajo paridad. Como establece el experimento de Wu, llevado a cabo por la científica chino-americana Chien-Shiung Wu, la interacción débil es quiral y por ende proporciona una manera de estudiar la quiralidad en física. En su experimento, Wu aprovechó el rol de control que ejercen las interacciones débiles en el decaimiento radiactivo de isótopos atómicos para establecer la quiralidad de la fuerza débil.
En contraste, en las interacciones que son simétricas bajo paridad, como el electromagnetismo en física atómica y molecular, la paridad actúa como un poderoso principio de control subyacente a las transiciones cuánticas.
Una representación matricial de P (en cualquier número de dimensiones) tiene determinante igual a -1, y por lo tanto es distinta a una rotación, que tiene determinante igual a 1. En un plano bidimensional, la inversión del signo de todas las coordenadas no es una transformación de paridad, pues es equivalente a una rotación de 180 grados.
En mecánica cuántica, las funciones de onda que no cambian bajo una transformación de paridad son descritas como funciones pares, mientras aquellas que cambian de signo bajo una transformación de paridad son funciones impares.
Relaciones de simetría simple
Bajo rotaciones, en la geometría clásica los objetos pueden ser clasificados en escalares, vectores y tensores de rango mayor. En la física clásica, las configuraciones físicas necesitan ser transformadas bajo representaciones de cada grupo simétrico.
La teoría cuántica predice que los estados en un espacio de Hilbert no necesitan transformar bajo representaciones del grupo de rotaciones, sino solo bajo representaciones proyectivas. La palabra proyectiva se refiere al hecho de que si uno proyecta la fase de cada estado, cuando recordamos que la fase de un estado cuántico no es observable, tenemos que la representación proyectiva se reduce a una representación ordinaria. Todas las representaciones son también representaciones proyectivas, pero no así al contrario, por tanto la condición de representaciones proyectivas en un estado cuántico es más débil que la condición de representación de un estado clásico.
Las representaciones proyectivas de cualquier grupo son isomorfas a las representaciones ordinarias de una extensión central de grupo. Por ejemplo, representaciones proyectivas del grupo de rotaciones de 3 dimensiones, que corresponde al grupo especial ortogonal SO(3), son representaciones ordinarias del grupo especial unitario SU(2). Representaciones proyectivas de un grupo de rotación que no son representaciones son llamadas espinores y así los estados cuánticos pueden transformarse no solo como tensores si no también como espinores.
Si se añade a esto una clasificación por paridad, esto puede ser extendido, por ejemplo, en las nociones de escalares (P = +1) y pseudoescalares (P= -1) que son rotacionalmente invariantes. vectores (P = -1) y vectores axiales (o pseudovectores) (P = +1) que transforman como vectores bajo rotaciones.
Uno puede definir reflexiones tales como
que también tienen determinante negativo y forman una transformación de paridad válida. Luego, combinándolas con rotaciones (o realizando reflexiones sucesivas respecto a x, y y z) uno puede recuperar la transformación de paridad particular definida anteriormente. En el caso de dimensiones pares, solo el último ejemplo de una transformación de paridad (o cualquier otra reflexión de un número impar de coordenadas) puede ser utilizado.
Las transformaciones de paridad forman el grupo abeliano debido a la relación . Todo grupo abeliano tiene solo una representación irreducible unidimensional. Para , hay dos representaciones irreducibles: una es par bajo paridad (), la otra es impar (). Estas son muy útiles en mecánica cuántica. Sin embargo, como se detalla a continuación, los estados cuánticos no necesitan transformar bajo representaciones de paridad propiamente dichas, sino solo bajo representaciones proyectivas por lo que en principio una transformación de paridad puede rotar un estado mediante cualquier fase.
Se dice que un objeto físico presenta simetría P si es invariante respecto a cualquier operación de simetría como las anteriormente descritas, consistentes en cambiar el signo de una de las coordenadas espaciales.
Representaciones de O(3) Una forma alternativa de escribir las clasificaciones de escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores es en términos del espacio de representación en el cual cada objeto transforma. Este puede ser dado en términos del homomorfismo que define la representación. Para una matriz ,
Escalares: , la representación trivial. Pseudoescalares: . Vectores: , la representación fundamental. Pseudovectores: .
Cuando la representación se restringe a , los escalares y pseudoescalares transforman de forma idéntica, al igual que los vectores y los pseudovectores.
Mecánica clásica La ecuación del movimiento de Newton (si la masa es constante) iguala dos vectores, por lo que es invariante bajo paridad. La ley de gravitación también involucra solo vectores y es también, por ende, invariante bajo paridad.
Sin embargo, el momento angular es un vector axial,
En la electrodinámica clásica, la densidad de carga es un escalar, el campo eléctrico y la corriente son vectores, pero el campo magnético es un vector axial. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo paridad porque el rotor de un vector axial es un vector.
Efecto de la inversión espacial en algunas variables de la física clásica Las variables de la mecánica clásica pueden ser clasificadas en magnitudes pares y magnitudes impares según el comportamiento que posean bajo una transformación de paridad. Es importante mencionar que distintas magnitudes físicas pueden ser pares o impares dependiendo del número de dimensiones del espacio en que ellas existan.
La clasificación dada aquí abajo es correcta para un espacio tridimensional. En el caso de un espacio bidimensional, por ejemplo, cuando nos restringimos a la superficie de un planeta, algunas de estas variables cambiarán de categoría.
Magnitudes pares Las variables clásicas cuyos signos no cambian bajo inversión espacial, principalmente cantidades escalares, incluyen: , el tiempo cuando ocurre el evento , la masa de una partícula , la energía de una partícula , potencia (tasa del trabajo realizado) , la densidad de carga eléctrica , el potencial eléctrico (voltaje) , la densidad de energía del campo electromagnético , el momento angular (tanto el orbital y el de espín) de una partícula (pseudovector) , la inducción magnética (pseudovector) , el campo magnético , la magnetización , el tensor de Maxwell Todas las masas, cargas, constantes de acoplamiento y otras constantes físicas escalares, excepto aquellas asociadas con la fuerza débil.
Magnitudes impares Las variables clásicas cuyo signo se invierte bajo una inversión espacial, principalmente vectores, incluyen:
, la helicidad , el flujo magnético , la posición de una partícula en el espacio tridimensional , la velocidad de una partícula , la aceleración de una partícula , el momento lineal de una partícula , el flujo de masa , la fuerza ejercida sobre una partícula , la densidad de corriente eléctrica , el campo eléctrico , el desplazamiento eléctrico , la polarización eléctrica , el potencial vectorial electromagnético , el vector de Poynting.
Mecánica cuántica Posibles valores propios thumb|200px|right|Dos representaciones dimensionales de paridad son dadas por un par de estados cuánticos que van entre ellos sobre la paridad. Sin embargo, esta representación puede reducirse siempre a combinaciones lineales de estados; cada uno de ellos es par o impar bajo la paridad. Se dice que todas las representaciones irreductibles de la paridad son de dimensión 1.
En mecánica cuántica, las transformaciones de espacio-tiempo actúan en estados cuánticos. La transformación de paridad, , es un operador unitario, actuando en un estado de la siguiente manera: . Deberá cumplirse que , ya que una fase global es inobservable.
El operador , que invierte la paridad de un estado dos veces, deja al espaciotiempo invariante, por lo que es una simetría interna que rota sus estados propios en una fase . Si es un elemento de de un grupo de simetría U(1) continuo de rotaciones de fase, entonces es parte de ese grupo U(1) y por ende también es una simetría. En particular podemos definir el operador , que es también una simetría, y podríamos llamar a nuestro operador paridad en lugar de a . Nótese que , por lo que los valores propios de son . Las funciones de onda con valor propio bajo transformaciones de paridad son funciones pares, mientras aquellas con valor propio corresponden a funciones impares. Sin embargo, cuando no existe tal grupo de simetría, puede ocurrir que todas las transformaciones de paridad posean algunos valores propios que son fases diferentes a .
Las funciones de onda de una partícula moviéndose en un potencial externo, que posea simetría central (su energía potencial es invariante respecto a la inversión espacial, o simétrico respecto al origen), bien permanecerá invariante o bien cambiará de signo: estos dos posibles estados son llamados el estado par y el estado impar de la función de onda.
La ley de conservación de la paridad de las partículas establece que, si un ensemble de partículas aislado posee una paridad definida, entonces su paridad permanece invariante en el proceso de evolución del ensemble. Sin embargo, esto no es cierto para el decaimiento beta de los núcleos debido a que la interacción nuclear débil viola paridad.
La paridad de los estados de una partícula moviéndose en un campo externo esféricamente simétrico es determinado por el momento angular, y el estado de la partícula es definido por tres números cuánticos: la energía total, el momento angular y la proyección del momento angular.
Consecuencias de la simetría de paridad Cuando la paridad genera el grupo abeliano , uno puede siempre tomar combinaciones lineales de estados cuánticos tales que sean pares o impares bajo paridad (véase en la figura). Entonces, la paridad de dichos estados es ±1. La paridad de un estado multi-partícula es el producto de las paridades de cada estado; en otras palabras, la paridad es un número cuántico multiplicativo.
En mecánica cuántica, los hamiltonianos son invariantes (simétricos) bajo transformaciones de paridad si conmuta con el hamiltoniano. En la mecánica cuántica no relativista, esto ocurre para cualquier potencial escalar, por ejemplo, , por lo que el potencial es esféricamente simétrico. Los siguientes hechos pueden confirmarse fácilmente:
Si y tienen la misma paridad, entonces , donde es el operador posición. Para un estado de momento angular orbital con proyección en el eje z , entonces . Si , entonces las transiciones dipolares atómicas solo pueden ocurrir entre estados de distinta paridad. Si , entonces un estado propio no degenerado de es también un estado propio del operador paridad; esto es, una función propia no degenerada de es o bien invariante frente a o bien cambia su signo bajo .