thumb|upright=1.3|"The Gherkin", 30 St Mary Axe, Londres, completado en 2003, es un sólido de revolución diseñado paramétricamente
thumb|upright=1.3|Templo Kandariya Mahadev (c. 1030), Khajuraho, India, es un ejemplo de arquitectura religiosa con una estructura similar a un fractal, que tiene muchas partes que se asemejan al todo
Matemáticas y arquitectura están relacionadas, ya que los arquitectos (al igual que otros artistas) se sirven de las matemáticas en su actividad por varias razones: además de las matemáticas necesarias para el cálculo y el diseño estructural de la futura construcción, su trabajo está íntimamente relacionado con la geometría que se requiere para definir la forma espacial de un edificio. Ya desde la época de los pitagóricos (), se consideraba que para crear formas armoniosas de los edificios y de su entorno, se debía recurrir a principios matemáticos, tanto por planteamientos estéticos como en ocasiones religiosos. También ha sido habitual decorar edificios con motivos geométricos, incluyendo todo tipo de teselados. Otro aspecto importante es la vinculación con el diseño arquitectónico de los cálculos precisos para optimizar la estructura de un edificio, ajustando las dimensiones de sus elementos constructivos (vigas, pilares, arcos, bóvedas, cúpulas, voladizos, muros...) a las distintas cargas que deberá soportar la edificación (peso propio, cargas y sobrecargas de uso, efectos del viento y de la nieve, seísmos, dilataciones térmicas...) de acuerdo con las características mecánicas de los materiales a utilizar (madera, sillería, mampostería, ladrillos, cal, cemento, hormigón, hormigón armado, hormigón pretensado, hierro, acero, vidrio...).
En el antiguo Egipto, en la Grecia clásica, en la India y en el mundo islámico, edificaciones como las pirámides, distintos templos, mezquitas, palacios y mausoleos se diseñaron con proporciones específicas por razones religiosas. En la arquitectura islámica, las formas geométricas y especialmente los patrones de los azulejos se utilizan para decorar edificios, tanto por dentro como por fuera. Algunos templos hindúes tienen una estructura similar a la de un fractal, en el que los detalles de un edificio se asemejan a la construcción completa, transmitiendo el mensaje sobre el infinito propio de la cosmología hinduista. En la arquitectura china, los tulou de Fujian son estructuras defensivas comunales circulares. En el , la ornamentación basada en patrones matemáticos se está utilizando nuevamente para decorar edificios públicos.
En la arquitectura del Renacimiento, la simetría y la proporción fueron enfatizadas deliberadamente por arquitectos como Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio y Andrea Palladio, influidos por el tratado De architectura de Vitruvio originario de la antigua Roma y por la aritmética de los pitagóricos de la antigua Grecia.
A finales del , Vladímir Shújov en Rusia y Antoni Gaudí en Barcelona fueron pioneros en el uso de estructuras con forma de hiperboloide. En el Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, su obra más conocida, Gaudí también incorporó paraboloides hiperbólicos, teselados, arcos catenarios, catenoides, helicoides y distintas superficies regladas. En el , estilos como la arquitectura moderna y el deconstructivismo exploraron diferentes geometrías para lograr los efectos deseados. Las superficie mínimas se han explotado en cubiertas con forma de carpa (como en el Aeropuerto Internacional de Denver), mientras que Richard Buckminster Fuller fue pionero en el uso de las resistentes estructuras laminares conocidas como cúpulas geodésicas.
Campos relacionados thumb|upright|En el Renacimiento, se esperaba que un arquitecto como Leon Battista Alberti tuviera conocimientos en distintas disciplinas, incluyendo aritmética y geometría
Los arquitectos Michael Ostwald y Kim Williams, considerando las relaciones entre arquitectura y matemáticas, señalan que ambos campos, como comúnmente se entienden, pueden parecer estar conectados débilmente, ya que la arquitectura es una profesión que se ocupa de la cuestión práctica de diseñar y construir edificios, mientras que las matemáticas son el estudio puro de los números y otros objetos abstractos. Sin embargo, argumentan, ambas disciplinas están fuertemente conectadas, y lo han estado desde la antigüedad clásica.
En la anigua Roma, Vitruvio describió a un arquitecto como un hombre que conocía lo suficiente de una variedad de otras disciplinas, principalmente geometría, para permitirle supervisar a los artesanos expertos en todas las demás áreas necesarias, como albañiles y carpinteros. Lo mismo se aplicó en la Edad Media, cuando los arquitectos formados en las universidades aprendían aritmética, geometría y estética junto con el programa básico de gramática, lógica y retórica (las artes liberales) en elegantes aulas construidas por maestros constructores que habían guiado a muchos artesanos. Un maestro de obras en la cima de su profesión recibía el título de arquitecto o ingeniero. En el Renacimiento, las artes liberales (aritmética, geometría, música y astronomía) se convirtió en un programa extra propio de polímatas como Leon Battista Alberti. De manera similar, en Inglaterra, Sir Christopher Wren, conocido hoy como arquitecto, fue en primer lugar un destacado astrónomo.
Williams y Ostwald, al revisar la interacción entre las matemáticas y la arquitectura desde 1500 según el enfoque del sociólogo alemán Theodor Adorno, identifican tres tendencias entre los arquitectos, a saber: ser "revolucionario", introduciendo ideas completamente nuevas; ser "reaccionario", no introduciendo cambios; o ser revivalista, basándose en estilos del pasado. Argumentan que los arquitectos han evitado buscar inspiración en las matemáticas en épocas retrospectivas, lo que explicaría por qué en los períodos revivalistas, como la arquitectura neogótica en la Inglaterra del , la arquitectura tenía poca conexión con las matemáticas. Igualmente, señalan que en periodos reaccionarios como el manierismo italiano de alrededor de 1520 a 1580, o los movimientos barroco y palladiano del , las matemáticas apenas eran tenidas en consideración. En contraste, los movimientos revolucionarios de principios del como el futurismo y el constructivismo rechazaron activamente las viejas ideas, adoptando las matemáticas como base conceptual y conduciendo a la arquitectura moderna. También hacia finales del , los arquitectos se apoderaron rápidamente de la geometría fractal, al igual que de los teselados aperiódicos, para dotar a los edificios de recubrimientos atractivos.
Los arquitectos utilizan las matemáticas por varias razones, dejando de lado el empleo necesario de las matemáticas en la ingeniería de la edificación. En primer lugar, utilizan la geometría porque define la forma espacial de un edificio. En segundo lugar, utilizan las matemáticas para diseñar formas que puedan considerarse bellas o armoniosas. Desde la época de los pitagóricos con su filosofía religiosa del número, los arquitectos de la Grecia clásica, de la antigua Roma, del mundo islámico y del renacimiento italiano se preocuparon de dotar a sus realizaciones de un sentido de la proporción de acuerdo con aspectos matemáticos, estéticos y, a veces, según principios religiosos. También pueden utilizar objetos matemáticos como teselados para decorar edificios, y emplear las matemáticas en forma de modelos informáticos para cuantificar el efecto de elementos ambientales, tales como las cargas generadas por el viento en la estructura de edificios altos.
Estética secular
Antigua Roma thumb|upright=1.3|Plano de una casa griega, por Vitruvio
Vitruvio
thumb|left|upright|El interior del Panteón de Agripa, por Giovanni Pannini (1758)
Vitruvio, el influyente arquitecto de la antigua Roma, argumentó que el diseño de un edificio como un templo depende de dos cualidades, proporción y simetría. La proporción asegura que cada parte de un edificio se relacione armoniosamente con todas las demás. simetría, según Vitruvio, significa algo más cercano a modularidad que a simetría especular, ya que el concepto se relaciona con el ensamblaje de las partes (módulos) en relación con todo el edificio. En su Basílica de Fano, usa proporciones de números enteros pequeños, especialmente los números triangulares (1, 3, 6, 10, ...) para proporcionar a la estructura de la denominada modulación vitruviana. Por lo tanto, la relación entre el ancho y el largo de la Basílica es 1:2; el pasillo que lo rodea es tan alto como ancho, 1: 1; las columnas tienen cinco pies de espesor y cincuenta pies de alto, 1:10.
thumb|upright|Plano de la planta del Panteón
Vitruvio mencionó tres cualidades fundamentales de la arquitectura en su obra De architectura (c. 15 a.C.): firmeza, utilidad y belleza, sentencia que llegaría a convertirse en una frase famosa. Estos tres principios se pueden utilizar como categorías para clasificar las formas en que se emplean las matemáticas en la arquitectura. La firmeza abarca el uso de las matemáticas para garantizar que un edificio se mantenga en pie, de ahí las herramientas matemáticas utilizadas en el diseño y para cimentar la construcción, por ejemplo, para garantizar la estabilidad y el comportamiento de la estructura. La utilidad se deriva en parte de la aplicación efectiva de las matemáticas, razonando y analizando las relaciones espaciales y de otro tipo en un diseño. La belleza es un atributo del edificio resultante, producto de la incorporación de relaciones matemáticas en las proporciones del edificio; incluye cualidades estéticas, sensitivas e intelectuales.
El Panteón
El Panteón de Roma ha sobrevivido intacto, ilustrando la estructura, proporción y decoración romanas clásicas. La estructura principal es una cúpula, cuya coronación se dejó abierta como un óculo circular para dejar entrar la luz. Posee una corta columnata, rematada con un frontón triangular. La altura del óculo y el diámetro del círculo interior son los mismos, , por lo que todo el interior encajaría exactamente dentro de un cubo, y el interior podría albergar una esfera del mismo diámetro. Estas dimensiones tienen más sentido cuando se expresan en medidas romanas antiguas: la cúpula alcanza 150 pies romanos de diámetro; el óculo mide 30 pies romanos de diámetro; y la entrada tiene 40 pies romanos de altura. El Panteón sigue siendo la cúpula de hormigón en masa más grande del mundo.
Renacimiento
thumb|Fachada de la Basílica de Santa María Novella, Florencia, 1470. El friso (decorado con cuadrados) y la parte superior fueron proyectados por Leon Battista Alberti
El primer tratado renacentista de arquitectura, "De re aedificatoria" (Sobre el arte de la construcción) de Leon Battista Alberti, escrito en 1450, se convirtió en el primer libro impreso sobre arquitectura en 1485. Se basó en parte en el "De architectura" de Vitruvio y, a través de Nicómano, en la aritmética pitagórica. Alberti comienza con un cubo, del que deduce diversas proporciones. Así, la diagonal de una cara da la razón 1:, mientras que el diámetro de la esfera que circunscribe el cubo da 1:. También documentó el descubrimiento de Filippo Brunelleschi de la perspectiva, desarrollado para permitir el diseño de edificios que se verían bellamente proporcionados cuando se observaban desde una distancia adecuada.
thumb|left|Perspectiva arquitectónica de un escenario, ambientado por Sebastiano Serlio (1569)Typ 525.69.781, Houghton Library, Harvard University
El siguiente texto importante fue el "Regole generali d'architettura" (Reglas generales de arquitectura) de Sebastiano Serlio; el primer volumen apareció en Venecia en 1537; el volumen de 1545 (libros1 y 2) cubría la geometría y la perspectiva. Dos de los métodos de Serlio para construir perspectivas eran incorrectos, pero esto no impidió que su trabajo fuera ampliamente utilizado.
thumb|right|Planta y alzado de la Villa Pisani, obra de Andrea Palladio