En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos, el forzado es una técnica empleada para probar la consistencia y la independencia de diversos resultados. Fue utilizada por primera vez por Paul Cohen en 1963, para demostrar la independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

El procedimiento de forzado ha sido considerablemente reelaborado y simplificado en los años siguientes, y desde entonces ha servido como una técnica potente, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de la lógica matemática como la teoría de la computabilidad. La teoría descriptiva de conjuntos usa las nociones de forzado tanto de la teoría de recursividad como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en teoría de modelos, pero es común en la teoría de modelos definir el carácter genérico directamente sin mencionar el forzado.

Concepto intuitivo

Intuitivamente, el forzado consiste en expandir el conjunto universo teórico a un universo mayor . En este universo más grande, por ejemplo, se podría disponer de muchos subconjuntos nuevos de que no estaban en el universo antiguo y, por lo tanto, violar la hipótesis del continuo.

Si bien es imposible cuando se trata de conjuntos finitos, esta es solo otra versión de la paradoja de Cantor sobre el infinito. En principio, se podría considerar que:

identifique con y luego introduzca una relación de membresía ampliada que incluya conjuntos nuevos de la forma . El forzado es una versión más elaborada de esta idea, que reduce la expansión a la existencia de un nuevo conjunto y permite un control preciso sobre las propiedades del universo expandido.

La técnica original de Cohen, ahora llamada forzado ramificado, es ligeramente diferente del forzado sin ramificar expuesto aquí. El forzado también es equivalente al método de modelo booleano-evaluado, que en algunos casos se considera más natural e intuitivo conceptualmente, pero por lo general mucho más difícil de aplicar.

Conjunto parcialmente ordenado forzado

Un conjunto parcialmente ordenado forzado es un triplete ordenado, , donde es un preorden sobre sin átomos, lo que significa que satisface la siguiente condición:

Para cada , existen tales que , pero sin un elemento tal que . El elemento más grande de es , es decir, para todos los . Los miembros de se denominan condiciones forzadas o simplemente condiciones. Entonces se entiende que implica que " es más fuerte que ". Intuitivamente, la condición "menor" proporciona "más" información, al igual que el intervalo menor proporciona más información sobre el número que el intervalo .

Hay varias convenciones en uso. Algunos autores requieren que la relación también sea antisimétrica, por lo que la relación es un orden parcial. Ocasionalmente se usa el término conjunto parcialmente ordenado de todos modos, en conflicto con la terminología estándar, mientras que también se usa el término conjunto preordenado. Se puede prescindir del elemento más grande. También se utiliza el orden inverso, sobre todo por Saharon Shelah y sus coautores.

Nombres P

Asociada con un conjunto parcialmente ordenado forzado está la clase de -nombres. Un nombre es un conjunto de la forma

En realidad, esta es una definición por recursividad transfinita. Más precisamente, se usa en primer lugar la inducción transfinita para definir la siguiente jerarquía:

Entonces la clase de nombres se define como

Los nombres son, de hecho, una expansión del universo. Dado , se define como el nombre

Una vez más, esta es realmente una definición por recursividad transfinita.

Interpretación

Dado cualquier subconjunto de , a continuación se define la aplicación de interpretación o valoración de los nombres por

Esta es de nuevo una definición por recursividad transfinita. Téngase en cuenta que si , entonces . Luego se define

para que .

Ejemplo

Un buen ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado forzado es , donde y es la colección de los subconjuntos de Borel de que tienen medida de Lebesgue distinta de cero. En este caso, se puede hablar de las condiciones como probabilidades, y un nombre asigna membresía en un sentido probabilístico. Debido a la intuición que este ejemplo puede proporcionar, el lenguaje probabilístico a veces se usa con otros postulados de forzado divergentes.

Modelos transitivos contables y filtros genéricos

El paso clave para el forzado es, dado el universo de , encontrar un objeto apropiado que no esté en . La clase resultante de todas las interpretaciones de los nombres será un modelo de que amplía adecuadamente el original (desde ).

En lugar de trabajar con , es útil considerar un modelo transitivo contable con . "Modelo" se refiere a un modelo de la teoría de conjuntos, ya sea de todo , o de un modelo de un subconjunto grande pero finito de , o alguna variante del mismo. "Transitividad" significa que si , entonces . El lema de colapso de Mostowski establece que esto se puede asumir si la relación de membresía está bien fundada. El efecto de la transitividad es que la membresía y otras nociones elementales pueden manejarse intuitivamente. El carácter de contable del modelo se basa en el teorema de Löwenheim-Skolem, que asegura que para toda teoría de primer orden (como ) con modelos infinitos (los cuales están garantizados por el axioma del infinito) entonces existen modelos de cardinalidad infinita contable.

Como es un conjunto, hay conjuntos que no están en ; esto se deriva de la paradoja de Russell. El conjunto propio para seleccionar y adjuntar a es un filtro genérico en . La condición de "filtro" significa que:

si , entonces si , entonces existe un tal que

Que sea "genérico", significa que:

Si es un subconjunto "denso" de (es decir, para cada , existe un tal que ), entonces .

La existencia de un filtro genérico se deriva del lema de Rasiowa-Sikorski y del hecho de que el modelo es contable. De hecho, es cierto algo más: dada una condición , se puede encontrar un filtro genérico tal que . Debido a la condición de división en (anteriormente denominada "sin átomos"), si es un filtro, entonces es denso. Si , entonces porque es un modelo de . Por esta razón, un filtro genérico nunca está en .

Forzado

Dado un filtro genérico , se procede de la siguiente manera. La subclase de nombres en se denota como . Sea

Para reducir el estudio de la teoría de conjuntos de al de , se trabaja con el "lenguaje forzado", que se construye como una lógica de primer orden ordinaria, con la pertenencia como relación binaria y todos los nombres como constantes.

Se define (que debe leerse como " fuerza a en el modelo con el conjunto parcialmente ordenado "), donde es una condición, es una fórmula en el lenguaje forzado y los son nombres de , lo que significa que si es un filtro genérico que contiene , entonces . El caso especial se escribe a menudo como "" o simplemente "". Tales declaraciones son verdaderas en , sin importar lo que sea .

En resumen, es desconocido en ya que depende de , pero no es completamente desconocido para un forzado de conjunto de cadena contable (c.c.c.). Se puede identificar un conjunto contable de conjeturas sobre que es el valor de en cualquier entrada, independientemente de .

Lo importante es que esta definición externa de la relación de forzamiento es equivalente a una definición interna dentro de , definida por inducción transfinita sobre los nombres en instancias de y , y luego por inducción ordinaria sobre la complejidad de las fórmulas. Esto tiene el efecto de que todas las propiedades de son realmente propiedades de , y la verificación de en se vuelve sencilla. Esto generalmente se resume en las siguientes tres propiedades clave:

Verdad: bicondicional es forzado por , es decir, para alguna condición , se tiene que . Definibilidad: La declaración "" se puede definir en . Coherencia: .

Se define la relación de forzado en por inducción sobre la complejidad de fórmulas, en la que primero se da la relación para fórmulas atómicas por inducción y luego se implementa para fórmulas arbitrarias por inducción sobre su complejidad.

Primero se define la relación de forzado en fórmulas atómicas, haciéndolo para ambos tipos de fórmulas, y , simultáneamente. Esto significa que se define una relación donde denota el tipo de fórmula de la siguiente manera: significa . significa . significa .

Aquí es una condición y y son nombres . Sea una fórmula definida por la inducción de :

R1. si y solo si .

R2. si y solo si .

R3. si y solo si .

Más formalmente, se usa la siguiente relación binaria -nombres: sea válido para los nombres y si y solo si para al menos una condición . Esta relación está bien fundada, lo que significa que para cualquier nombre la clase de todos los nombres , tal que tiene, es un conjunto y no hay ninguna función tal que .

En general, una relación bien fundada no es un preorden, porque podría no ser transitiva. Pero, si se considera como un "ordenamiento", es una relación sin infinitas secuencias decrecientes y donde para cualquier elemento la clase de elementos por debajo es un conjunto.

Es fácil cerrar cualquier relación binaria de transitividad. Para los nombres y , se cumple si hay al menos una secuencia finita (como aplicación con dominio ) para algunos tales que , y se cumple para algún , que .

Este ordenamiento también está bien fundado.

Definimos el siguiente orden bien definido en pares de nombres: si se cumple uno de los siguientes: , y , y y .

La relación se define por recursividad en pares de nombres. Para cualquier par, se define por la misma relación en pares "más simples". En realidad, por el teorema de recursividad hay una fórmula tal que R1, R2 y R3 son teoremas porque su valor de verdad en algún punto está definido por sus valores de verdad en puntos "más pequeños" en relación con alguna relación bien fundada utilizada como "ordenar". Ahora, se está preparados para definir la relación forzada: significa . significa . significa . significa . significa .

En realidad, esta es una transformación de una fórmula arbitraria a la fórmula donde y son variables adicionales. Esta es la definición de la relación de forzado en el universo de todos los conjuntos independientemente de cualquier modelo transitivo contable. Sin embargo, existe una relación entre esta formulación "sintáctica" de forzado y la formulación "semántica" de forzado sobre algún modelo transitivo contable .

1. Para cualquier fórmula existe un teorema de la teoría (por ejemplo, conjunción de un número finito de axiomas) tal que para cualquier modelo transitivo contable tal que y cualquier orden parcial sin átomos y cualquier -filtro genérico sobre

Esto se denomina propiedad de definibilidad de la relación de forzado.

Consistencia

La discusión anterior se puede resumir en el resultado de consistencia fundamental de que, dado un conjunto parcialmente ordenado forzado , se puede asumir la existencia de un filtro genérico , que no pertenece al universo , de modo que es nuevamente un universo de teoría de conjuntos que modela . Además, todas las verdades en pueden reducirse a verdades en que involucran la relación forzada.

Ambos estilos, junto a a un modelo transitivo contable o al universo completo , se utilizan comúnmente. Es menos común el enfoque que utiliza la definición "interna" de forzado, en la que no se hace mención de modelos de conjuntos o clases. Este fue el método original de Cohen, y en una elaboración, se convierte en el método de análisis con modelos booleano-valuados de Scott.

Forzado de Cohen