thumb|300px|Recta de Filón de un punto y de un ángulo , y la igualdad definitoria de distancias desde y hasta los extremos de , donde es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo

En geometría, la recta de Filón se construye a partir de un ángulo y de un punto situado en su interior, y se define como el segmento más corto que pasa por el punto y que tiene sus extremos en los dos lados del ángulo. Lleva el nombre de Filón de Bizancio, un tratadista griego que escribió sobre dispositivos mecánicos, y que vivió probablemente durante el o a.C. Usó la recta que lleva su nombre para calcular la duplicación del cubo. Es sabido que no se puede duplicar el cubo exclusivamente con regla y compás, ni tampoco construir la recta de Filón.

Caracterización geométrica

El punto de definición de una recta de Filón, y la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la recta, son equidistantes a los puntos finales del segmento abarcado por el ángulo. Es decir, supóngase que el segmento es parte de la recta de Filón del punto y el ángulo ; y sea la base de una perpendicular a . Entonces, y .

Por el contrario, si y son dos puntos cualesquiera equidistantes de los extremos de un segmento rectilíneo , y si es cualquier punto de la recta que pasa por que es perpendicular a , entonces es la recta de Filón del ángulo y el punto .

Duplicación del cubo La recta de Filón se puede usar para duplicar un cubo, es decir, para construir una representación geométrica de la raíz cúbica de dos, y este fue el propósito de Filón al definirla. Específicamente, sea un rectángulo cuya relación de aspecto es , como en la figura. Sea la recta de Filón del punto con respecto al ángulo recto . Por otro lado, se denomina al punto de intersección de la línea y de la circunferencia que pasa por los puntos . Debido a que el triángulo está inscrito en la circunferencia con como diámetro, es un triángulo rectángulo y es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo hasta la recta de Filón.

Sea el punto donde la línea recta cruza una línea perpendicular a través de . Entonces, las igualdades de los segmentos , y se derivan de la propiedad característica de la recta de Filón. La semejanza de los triángulos rectángulos , y se deduce a partir de la bisección perpendicular de los triángulos rectángulos. La combinación de estas igualdades y relaciones de semejanza permite obtener la igualdad de proporciones o más concisamente . Dado que el primer y último término de estas tres proporciones iguales están en la razón , las proporciones en sí deben ser todas , la proporción que se requiere para duplicar el cubo.

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Sabiendo que es imposible duplicar el cubo solo con regla y compás, es igualmente imposible construir la recta de Filón con estas herramientas.

Referencias

Lecturas relacionadas

Enlaces externos

Categoría:Geometría euclidiana plana