miniaturadeimagen|400x400px El movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial) es un modelo de amplio uso en finanzas y sirve para representar el precio de algunos bienes que fluctúan siguiendo los vaivenes de los mercados financieros, en particular, es utilizado en matemáticas financieras para modelar precios en el modelo de Black-Scholes.
Definición Sean , y , se define el movimiento browniano geométrico como el proceso estocástico a tiempo continuo que satisface la ecuación diferencial estocástica
y puede ser escrito como
donde es el movimiento Browniano estándar. Para obtener la solución de la ecuación diferencial estocástica se requiere el uso del cálculo de Itô.
Propiedades
Función de densidad El movimiento Browniano geométrico dado por
tiene una distribución log-normal con función de densidad dada por:
para .
Función de distribución La función de distribución acumulada está dada por
para .
Estadísticas Para hallar la media, varianza y covarianza del movimiento browniano geométrico, usaremos el hecho de que
es la función generadora de momentos de una distribución normal con parámetros y .
Media La media del movimiento Browniano geométrico es
pues
Varianza La varianza del movimiento Browniano geométrico es
pues
Covarianza La covarianza del movimiento Browniano geométrico es
-ésimo momento Para y , el -ésimo momento del proceso está dado por
Véase también
Proceso estocástico Movimiento Browniano Proceso de Wiener Cadena de Márkov Proceso de Poisson Ecuación diferencial estocástica
Referencias
Categoría:Procesos de Wiener