El problema decimonoveno de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert),Véase o, equivalentemente, una de sus traducciones. pregunta si las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre analíticas."Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?" (Traducción inglesa por Mary Frances Winston Newson:-"Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?"), formulando el problema con las mismas palabras de . Informalmente, y quizás menos directamente, dado que el concepto de Hilbert de un "problema variacional regular" identifica precisamente un problema variacional cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange son una ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos,Véase , o la sección correspondiente sobre el decimonoveno problema en cualquiera de sus traducciones o reimpresiones, o la subsección "Los orígenes del problema" en la sección histórica de esta entrada. El decimonoveno problema de Hilbert, a pesar de su afirmación aparentemente técnica, simplemente pregunta si, en esta clase de ecuación en derivadas parciales, cualquier función solución hereda la estructura relativamente simple y bien entendida de la ecuación resuelta. El decimonoveno problema de Hilbert fue resuelto de forma independiente a finales de la década de 1950 por Ennio de Giorgi y John Forbes Nash.

Historia

Los orígenes del problema

David Hilbert presentó el ahora llamado problema decimonoveno de Hilbert en su discurso en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos.Para obtener un análisis histórico detallado, consulte la entrada correspondiente sobre los "Problemas de Hilbert". En afirma que, en su opinión, uno de los hechos más destacables de la teoría de las funciones analíticas es que existen clases de ecuaciones diferenciales parciales que admiten solo ese tipo de funciones como soluciones, aduciendo la ecuación de Laplace, la ecuación de Liouville,Hilbert no cita explícitamente a Joseph Liouville y considera la constante (la curvatura de Gauss) es igual a : compárese la entrada relevante con . la superficie minimal y una clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales estudiadas por Charles Émile Picard como ejemplos.Contrariamente al trabajo de Liouville, el trabajo de Picard es citado explícitamente por . Luego observa el hecho de que la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales que comparten esta propiedad son la ecuación de Euler-Lagrange de un tipo de problema variacional bien definido, que presenta las siguientes tres propiedades:See . , , es una función analítica en todos sus argumentos e .

Hilbert llama a este tipo de problema variacional un "problema variacional regular": la propiedad"Reguläres Variationsproblem", en sus palabras exactas. La definición de Hilbert de un problema variacional regular es más fuerte que la que se usa actualmente, que se encuentra, por ejemplo, en . significa que ese tipo de problemas variacionales son problemas de mínimo, la propiedad es la condición de elipticidad en las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al funcional dado, mientras que la propiedad es un supuesto simple de regularidad de la función .Mientras que Hilbert considera todas las derivadas en el sentido "clásico", es decir, no en el sentido débil, incluso antes del enunciado de su analiticidad en , la función es asumida como al menos , como implica el uso de la matriz hessiana en . Habiendo identificado la clase de problemas a tratar, entonces plantea la siguiente pregunta: - " ... ¿tiene cada ecuación diferencial parcial de Lagrange de un problema de variación regular la propiedad de admitir integrales analíticas exclusivamente?"Traducción al inglés de Mary Frances Winston Newson: Hilbert's (1900, p. 288) sus palabras exactas son:-"... d. h. ob jede Lagrangesche partielle Differentialgleichung eines reguläres Variationsproblem die Eigenschaft at, daß sie nur analytische Integrale zuläßt" (cursivas incluidas por el propio Hilbert). y pregunta además si este es el caso incluso cuando se requiere que la función asuma, como sucede con el problema de Dirichlet en la función potencial, valores de frontera que son continuos, pero no analíticos.

El camino hacia la solución completa Hilbert planteó su decimonoveno problema como un problema de regularidad para una clase de ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos, por lo tanto los primeros esfuerzos de los investigadores que buscaron resolverlo se dirigieron a estudiar la regularidad de las soluciones clásicas de las ecuaciones pertenecientes a esta clase. Para las soluciones , el problema de Hilbert fue respondido positivamente por en su tesis: demostró que las soluciones de ecuaciones analíticas elípticas no lineales en 2 variables son analíticas. El resultado de Bernstein fue mejorado en los años por varios autores, como , que redujeron los requisitos de diferenciación de la solución necesarios para demostrar que es analítica. Por otro lado, los métodos directos en el cálculo de variaciones mostraron la existencia de soluciones con propiedades de diferenciabilidad muy débiles. Durante muchos años hubo una brecha entre estos resultados: se sabía que las soluciones que podían construirse tenían segundas derivadas integrables cuadráticas, que no eran lo suficientemente fuertes para alimentar la maquinaria que podía demostrar que eran analíticas, puesto que necesitaban la continuidad de las primeras derivadas. Este vacío fue llenado de forma independiente por y . Pudieron demostrar que las soluciones tenían primeras derivadas que eran continuas de Hölder, lo que por resultados anteriores implicaba que las soluciones son analíticas siempre que la ecuación diferencial tenga coeficientes analíticos, completando así la solución del decimonoveno problema de Hilbert.

Contraejemplos a varias generalizaciones del problema La respuesta afirmativa al decimonoveno problema de Hilbert dada por Ennio De Giorgi y John Forbes Nash planteó la cuestión de si la misma conclusión es válida también para las ecuaciones de Euler-Lagrange de funcional más generales: a finales de la década de 1960,,Véase ,,,,, y . y se construyeron de forma independiente varios contraejemplos,Véase ,. que muestran que, en general, no hay esperanzas de probar este tipo de resultados de regularidad sin agregar más hipótesis.

Precisamente, dio varios contraejemplos que involucran una sola ecuación elíptica de orden mayor que dos con coeficientes analíticos:Véase , y . para los expertos, el hecho de que este tipo de ecuaciones pudieran tener soluciones no analíticas e incluso no suaves causó sensación.De acuerdo con . y dieron contraejemplos que muestran que en el caso de que la solución tenga un valor vectorial en lugar de un valor escalar, no es necesario que sea analítica: el ejemplo de De Giorgi consiste en un sistema elíptico con coeficientes acotados, mientras que el de Giusti y Miranda tiene coeficientes analíticos.Véase y . Más tarde, proporcionó otros ejemplos más refinados para el problema de valores vectoriales.Para más información acerca del trabajo de Jindřich Nečas véase el trabajo de y .

Teorema de De Giorgi El teorema clave demostrado por De Giorgi es una estimación a priori que establece que si u es una solución de una ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden estrictamente elíptica adecuada de la forma

y tiene primeras derivadas integrables cuadradas, entonces es continua de Hölder.

Aplicación del teorema de De Giorgi al problema de Hilbert El problema de Hilbert pregunta si los minimizadores de una energía funcional como

son analíticos. Aquí es una función en algún conjunto compacto de R n, es su vector gradiente y es el Lagrangiano, una función de las derivadas de que satisface ciertas condiciones de crecimiento, suavidad y convexidad. La suavidad de se puede demostrar usando el teorema de De Giorgi como sigue. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este problema variacional son la ecuación no lineal

y diferenciar esto con respecto a da

Esto significa que satisface la ecuación lineal

con

así que según el resultado de De Giorgi, la solución w tiene primeras derivadas continuas de Hölder, siempre que la matriz esté acotada. Cuando este no es el caso, se necesita un paso más: se debe demostrar que la solución es continua de Lipschitz, es decir, el gradiente es una función .

Una vez que se sabe que w tiene (n+1) derivadas continuas de Hölder para algún n≥1, entonces los coeficientes aij tienen n derivadas continuas de Hölder, por lo que un teorema de Schauder implica que las (n+2) derivadas también son continuas de Hölder, por lo que repetir esto infinitamente a menudo demuestra que la solución w es suave.

Teorema de Nash

Nash dio una estimación de continuidad para las soluciones de la ecuación parabólica

donde u es una función acotada de x1, ..., xn, t, definida para t≥0. Según su estimación, Nash pudo deducir una estimación de continuidad para soluciones de la ecuación elíptica considerando el caso especial en el que u no depende de t.

Referencias

Bibliografía . . Reprinted in . . "On the analyticity of extremals of multiple integrals" (English translation of the title) is a short research announcement disclosing the results detailed later in . While, according to the Complete list of De Giorgi's scientific publication (De Giorgi 2006, p. 6), an English translation should be included in , it is unfortunately missing. . Translated in English as "On the differentiability and the analyticity of extremals of regular multiple integrals" in . . Translated in English as "An example of discontinuous extremals for a variational problem of elliptic type" in . . . . , translated in English as . . .

.– Reprinted as .– Translated to English by Mary Frances Winston Newson as .– Reprinted as .– Translated to French by M. L. Laugel (with additions of Hilbert himself) as .– There exists also an earlier (and shorter) resume of Hilbert's original talk, translated in French and published as . . .– Translated in English as . . . . . .

#19 Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales Categoría:Cálculo de variaciones