La intención de este artículo es resaltar los puntos importantes de la derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes, así como su aplicación y formulación para diferentes familias de fluidos. Hipótesis básicas Las ecuaciones de Navier-Stokes se basan en la suposición de que el fluido, en la escala de interés, es un elemento continuo, una sustancia continua en lugar de un conjunto de partículas discretas. Otra suposición necesaria es que todos los campos de interés incluyendo presión, velocidad de flujo, densidad, y temperatura son diferenciables, al menos débilmente.
Las ecuaciones se deducen de los principios básicos de la continuidad de masa, de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía. A veces es necesario considerar un volumen arbitrario finito, llamado volumen de control, sobre el cual estos principios pueden ser aplicados. Este volumen finito se denota por y su superficie delimitadora . El volumen de control puede permanecer fijo en el espacio o puede moverse con el fluido. Derivada material
Los cambios en las propiedades de un fluido en movimiento pueden medirse de dos maneras diferentes. Una puede medir una propiedad determinada ya sea realizando la medición en un punto fijo del espacio como partículas del fluido que pasan, o siguiendo una parcela de fluido a lo largo de su línea de corriente. La derivada de un campo con respecto a una posición fija en el espacio se denomina derivada euleriana, mientras que la derivada que sigue a una parcela en movimiento se denomina derivada advectiva o material (Lagrangiana ).
La derivada material se define como el operador no lineal:
donde es la velocidad de fluido. El primer término del segundo miembro de la ecuación es la derivada euleriana ordinaria, es decir, la derivada en un marco de referencia fijo, que representa los cambios en un punto con respecto al tiempo, mientras que el segundo término representa los cambios de una cantidad con respecto a la posición (véase advección). Esta derivada especial es de hecho la derivada ordinaria de una función de muchas variables a lo largo de un camino que sigue el movimiento del fluido; puede derivarse mediante la aplicación de la regla de la cadena en la que se comprueba el cambio de todas las variables independientes a lo largo del camino, es decir, la derivada total.
Por ejemplo, la medición de los cambios en la velocidad del viento en la atmósfera puede obtenerse con la ayuda de un anemómetro en una estación meteorológica o mediante la observación del movimiento de un globo meteorológico. El anemómetro en el primer caso está midiendo la velocidad de todas las partículas en movimiento que pasan a través de un punto fijo en el espacio, mientras que en el segundo caso el instrumento está midiendo los cambios en la velocidad a medida que se mueve con el flujo.
Ecuaciones de continuidad Las ecuaciones de Navier-Stokes son unas ecuaciones especiales de continuidad. Estas ecuaciones de continuidad se derivan de los principios de conservación de: la masa la cantidad de movimiento la energía Una ecuación de continuidad (o ley de conservación) es una relación integral que establece que la tasa de cambio de alguna propiedad integrada definida sobre un volumen de control debe ser igual a la cantidad que se pierde o se gana a través de los límites del volumen más lo que se crea o se consume por las fuentes y sumideros dentro del volumen. Esto se expresa mediante la siguiente ecuación de continuidad integral:
donde es la velocidad de flujo del fluido, es el vector normal de la unidad que apunta hacia afuera, representa las fuentes y sumideros en el flujo, tomando los sumideros como positivos.
El teorema de divergencia puede aplicarse a la integral de superficie, convirtiéndola en una integral de volumen:
Aplicando el teorema de transporte de Reynolds a la integral de la izquierda y luego combinando todas las integrales:
La integral debe ser cero para cualquier volumen de control; esto sólo puede ser cierto si la integral en sí es cero, de modo que:
A partir de esta valiosa relación (una ecuación de continuidad muy genérica), pueden escribirse concisamente tres conceptos importantes: conservación de la masa, conservación del impulso y conservación de la energía. La validez se conserva si es un vector, en cuyo caso el producto vectorial en el segundo término será un tensor diádico.
Conservación del momento Se obtiene una ecuación para el campo de velocidades del fluido cuando se aplica la relación de conservación del momento. Cuando la propiedad intensiva se considera como el flujo de masa, o también la densidad de momento, es decir, el producto de la densidad de masa y la velocidad de flujo, o sea = , sustituyendo en la ecuación general de continuidad, última del apartado anterior se obtiene:
donde es un producto diádico, un caso especial de producto tensorial, que da lugar a un tensor de segundo rango; la divergencia de un tensor de segundo rango es de nuevo un vector (un tensor de primer rango).
Usando la fórmula para la divergencia de un producto diádico,
y entonces se tiene:
Nótese que el gradiente de un vector es un caso especial de la derivada covariante, la operación da como resultado tensores de segundo rango; excepto en las coordenadas cartesianas, es importante entender que no se trata simplemente de un gradiente elemento por elemento. Reordenando y reconociendo que :
La expresión más a la izquierda entre paréntesis es, por continuidad de masa (mostrada en un momento), igual a cero. Observando que lo que queda a la izquierda de la ecuación es la derivada material de la velocidad del flujo:
Esto parece ser simplemente una expresión de la segunda ley de Newton (F = ma) en términos de fuerza corporal en lugar de fuerzas puntuales. Cada término en cualquier caso de las ecuaciones de Navier-Stokes es una fuerza corporal. Una forma más corta aunque menos rigurosa de llegar a este resultado sería la aplicación de la regla de la cadena a la aceleración:
dónde . La razón por la que esto es "menos riguroso" es que no hemos demostrado que la elección de
sea correcta. Sin embargo, tiene sentido, ya que con esa elección del camino la derivada está "siguiendo" una "partícula" fluida, y para que la segunda ley de Newton funcione, las fuerzas deben ser sumadas siguiendo una partícula. Por esta razón la derivada material también se conoce como la «derivada de la partícula». Conservación de la masa La masa puede ser considerada también. Cuando la propiedad intensiva se considera como la masa, por sustitución en la ecuación general de continuidad, y tomando , es decir, que no hay fuentes o sumideros de masa:
donde es la densidad de masa, masa por unidad de volumen, y es la velocidad de flujo Esta ecuación se llama «ecuación de continuidad de masa» o simplemente "la" ecuación de continuidad. Esta ecuación generalmente acompaña a la ecuación de Navier-Stokes.
En el caso de fluido incompresible la ecuación se reduce a:
que es de hecho una demostración de la conservación del volumen.
Ecuación de momentum de Cauchy
La densidad genérica de la fuente de impulso , vista anteriormente, se especifica primero dividiéndola en dos nuevos términos, uno para describir las tensiones internas y otro para las fuerzas externas, como la gravedad. Examinando las fuerzas que actúan en un pequeño cubo en un fluido, se puede demostrar que
donde es el tensor tensión representa las fuerzas del cuerpo presentes Esta ecuación se llama la ecuación de momentum de Cauchy y describe la conservación del momento no relativista de cualquier continuo que conserve masa. es un tensor simétrico de rango dos dado por sus componentes covariantes. En coordenadas ortogonales en tres dimensiones se representa como la matriz 3x3:
donde es la tensión normal es la tensión cortante Esta matriz se divide en dos términos:
dónde es la matriz identidad de 3 x 3 y es el tensor de tensiones. Téngase en cuenta que la presión mecánica es igual la tensión normal media pero con signo contrario.
La motivación para hacer esto es que la presión es típicamente una variable de interés, y también esto simplifica la aplicación a familias de fluidos específicos más adelante ya que el tensor más adecuado en la ecuación anterior debe ser cero para un fluido en reposo. Obsérvese que es de traza nula. La ecuación de Cauchy puede ahora escribirse de una forma más explícita como:
Esta ecuación aún está incompleta. Para completarla, deben hacerse las hipótesis sobre las dependencias funcionales de y en el fluido concreto de estudio, es decir, se necesita una ley constitutiva para el tensor de estrés que se puede obtener para familias de fluidos específicos y sobre la presión. Algunas de estas hipótesis conducen a las Ecuaciones de Euler, otras conducen a las ecuaciones de Navier-Stokes. Además, si se supone que el flujo es compresible, se requerirá una ecuación de estado, que probablemente requerirá además una formulación de conservación de la energía. Aplicación a diferentes fluidos La forma general de las ecuaciones de movimiento no está todavía "lista para su uso", pues el tensor de tensión es todavía desconocido, por lo que se necesita más información. Esta información es normalmente algún conocimiento del comportamiento viscoso del fluido. Para diferentes tipos de flujo de fluidos esto desemboca en formas específicas de las ecuaciones de Navier-Stokes. Fluido newtoniano
Fluido newtoniano compresible La formulación para los fluidos newtonianos proviene de una observación hecha por Newton de que, para la mayoría de los fluidos,
Para aplicar esto a las ecuaciones del Navier-Stokes, Stokes hizo tres suposiciones:
El tensor de tensiones es una función lineal del tensor de tasa de deformación o, de forma equivalente, el gradiente de velocidad. El fluido es isótropo. Para un fluido en reposo, debe ser cero (para que se verifique la fórmula de la presión hidrostática).
La lista anterior establece el clásico argumentoMorse, P.M. and Ingard, K.U. "Theoretical Acoustics", Princeton University Press (1968) de que el tensor de tensión de cizallamiento, es decir, la parte de cizallamiento (simétrica) del gradiente de velocidad, es un tensor de cizallamiento puro y no incluye ninguna entrada/salida de fluido, es decir, ninguna parte de compresión/expansión. Esto significa que su traza es cero, y esto se logra restando de forma simétrica a los elementos diagonales del tensor. La contribución compresiva a la tensión viscosa se añade como un tensor diagonal separado.
La aplicación de estas suposiciones llevará a :
o en forma tensorial
Es decir, la desviación del tensor de la tasa de deformación se identifica con la desviación del tensor de tensión, hasta un factor μ.Landau and Lifshitz, Fluid Mechanics, Second ed.: Vol. 6 (Course of Theoretical Physics) p. 45 es el delta de Kronecker y son constantes de proporcionalidad asociadas con el supuesto de que la tensión depende de la deformación lineal se llama el primer coeficiente de viscosidad o viscosidad de cizallamiento (generalmente solo llamado "viscosidad") es el segundo coeficiente de viscosidad o viscosidad volumétrica (y está relacionado con la viscosidad a granel )
El valor de , que produce un efecto viscoso asociado al cambio de volumen, es muy difícil de determinar, ni siquiera se conoce su signo con absoluta certeza. Incluso en flujos compresibles, el término que involucra a menudo es insignificante. Sin embargo, ocasionalmente puede ser importante incluso en flujos casi incompresibles y es motivo de controversia. Cuando se toma distinto de cero, la aproximación más común es .
Una sustitución directa de en la ecuación de conservación del momento dará lugar a las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen un fluido Newtoniano comprimible:
La fuerza del cuerpo se ha descompuesto en densidad y aceleración externa, es decir: . La ecuación de continuidad de masa asociada es: