En matemáticas y, más concretamente en cálculo diferencial, el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas, que es una condición suficiente la igualdad de las derivadas parciales dobles cruzadas de una función de varias variables, para que el orden de derivación no afecte el resultado.
Teorema Caso general Sea con un conjunto abierto tal que existen sus derivadas cruzadas de cualquier orden y son continuas en , entonces para cualquier punto se cumple que
En dos variables Sea una función de dos variables definida en un conjunto abierto , si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en , esto es, entonces estas son iguales, es decir: .
Demostración
Sea .
Y sean , reales tales que . Lo cual es posible, ya que es un abierto de .
Se definen dos funciones y , , de modo que: . ,
Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:
, y análogamente: , con , , por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen .
Luego haciendo tender y a se logra la demostración.
Véase también
Matriz hessiana Derivada parcial
Clairaut Categoría:Simetría Clairaut