Alfred Tarski -originalmente Alfred Teitelbaum- (14 de enero de 1901—26 de octubre de 1983) fue un lógico, matemático y filósofo polaco.
Nació el 14 de enero de 1901 en la ciudad de Varsovia, Polonia, y murió el 26 de octubre de 1983 en Berkeley, Estados Unidos.
De origen judío acomodado, adoptó su apellido definitivo al convertirse en 1923 al catolicismo. Formó parte de la importante escuela polaca de lógica y filosofía hasta 1939, en que se estableció en Estados Unidos de América; la emigración le salvó de la suerte de la mayor parte de su familia, que pereció bajo la ocupación nazi de Polonia. Desde Estados Unidos, donde viviría y enseñaría hasta su muerte, influyó en toda la investigación lógica posterior a la Segunda Guerra Mundial. Hizo aportaciones destacadas en teoría de conjuntos, lógica polivalente, interpretabilidad, niveles de lenguaje y metalenguaje y conceptos semánticos. Fue el autor de Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas en el año 1941 y La concepción semántica de la verdad y los fundamentos de la semántica en 1944.
Matemáticas
En 1924, Tarski y Stefan Banach demostraron que, si se acepta el axioma de elección, una bola puede dividirse en un número finito de piezas y recomponerse en dos bolas con el mismo tamaño que la original, o bien en una de mayor tamaño. Este resultado se conoce como paradoja de Banach-Tarski.
Tarski formuló una teoría de los números reales que es decidible. El interés de este resultado estriba en que la teoría de la adición y la multiplicación para números naturales, según demostraron Church y Gödel, no es decidible; por tanto, en la teoría completa de los números reales no puede establecerse si un número real es natural —esto sería contradictorio con los resultados de Gödel y Church—. Tarski formuló además una versión concisa de la geometría euclídea del plano que es decidible si lo es su teoría de los números reales. En su obra de 1953 Teorías indecidibles, escrita con Mostowski y Robinson, mostró que muchas teorías matemáticas, como la teoría de retículos, la geometría proyectiva abstracta y la teoría de grupos no conmutativos, no son decidibles.
En los años 40 Tarski comenzó a desarrollar junto a sus discípulos el álgebra relacional, en la que pueden expresarse tanto la teoría axiomática de conjuntos como la aritmética de Peano. También desarrolló junto a sus discípulos las álgebras cilíndricas, que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana a la lógica proposicional.
Lógica y teoría de modelos
Junto con Aristóteles, Gottlob Frege y Kurt Gödel, Tarski es considerado uno de los lógicos más grandes de todos los tiempos. De los cuatro, Tarski es uno de los mejores matemáticos, el más prolífico y el que desarrolló una actividad educativa más intensa. Entre sus muchos y relevantes discípulos se cuenta Julia Robinson. En 1941 publicó en inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.
Tarski contribuyó a la madurez de la lógica estándar —de primer orden— fundando una metodología conjuntista de las teorías deductivas sobre dos bases: la noción de teoría como conjunto de proposiciones cerrado bajo una noción de derivación mediante aplicación de reglas, y el desarrollo de una semántica basada en las nociones de satisfacción, verdad y consecuencia lógica.
Sus métodos semánticos —que culminaron en la teoría de modelos desarrollada en los años 50 y 60 junto a sus discípulos de Berkeley— transformaron radicalmente la metamatemática, consolidándola como ciencia estricta. La idea principal es reemplazar los símbolos de una cierta teoría por expresiones de otra teoría de forma que los axiomas de la primera se traduzcan en teoremas de la otra. La teoría de modelos estudia las propiedades que se heredan de unas teorías a otras a lo largo de estas traducciones, y compara los alcances respectivos de teorías diversas.
Suya es una de las primeras demostraciones del teorema de la deducción, con importantes aplicaciones tanto en lógica matemática como en metalógica.
Consecuencia lógica
El primer acercamiento de Tarski a la noción de consecuencia lógica fue axiomático: la noción quedaría definida por axiomas referidos a la derivación en un cálculo lógico. Sin embargo, argumentos propios y basados en los teoremas de incompletitud de Gödel condujeron a Tarski a admitir que este enfoque no daba cuenta de todos los casos intuitivos de consecuencia lógica —así, generalizaciones sobre números naturales: en los cálculos conocidos puede derivarse para cada número la oración que afirma que satisface una propiedad, pero no la oración que afirma que todos los números la satisfacen.
Como alternativa, en su artículo de 1936 "On the concept of logical consecuence" defendió que la conclusión de un argumento se sigue lógicamente de sus premisas si y solo si cada interpretación de las expresiones no lógicas que hace verdaderas a las premisas hace verdadera a la conclusión; por tanto, la explicación de la consecuencia lógica depende de la teoría semántica de la verdad.
Para que la definición se aplique a todos los casos basta con admitir como constantes lógicas, según Tarski, las siguientes: el cuantificador universal de primer orden, el condicional, la negación, los paréntesis y la identidad. Aun así, se considera que Tarski no dio ningún criterio suficiente para distinguir las constantes lógicas de las no lógicas. El problema le ocupó durante toda su vida académica; al final de ésta propuso, junto a Steven Givant, una definición en dos partes: una noción lógica es un elemento lingüístico invariante bajo toda permutación del universo del discurso sobre sí mismo. una constante lógica denota una noción lógica en todo universo del discurso y por tanto en toda interpretación.
Teoría semántica de la verdad En 1933 Tarski publicó en polaco un artículo sobre su definición matemática de la verdad para lenguajes formales. La influyente traducción al alemán se editó en 1936 bajo el título Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen ("El concepto de verdad en los lenguajes de las disciplinas deductivas"), y en 1956 se dio a conocer la versión inglesa como un capítulo de la antología Logic, Semantics, Metamathematics (1956). Este trabajo supone un hito para la filosofía del . Ha tenido gran difusión una presentación no técnica, El concepto semántico de verdad y los fundamentos de la semántica, publicada en 1944.
Desde un enfoque formalista de las matemáticas, el concepto de verdad parece superfluo: lo único que cuenta es la aplicación de las reglas de manipulación de signos, de derivación de unas fórmulas a partir de otras. Más en general, podría decirse que es ocioso preocuparse por lo que tradicionalmente se ha llamado "verdad" —Adaequatio intellectus et reiLa fórmula filosófica adaequatio rei et intellectus (correspondencia entre la realidad y el intelecto) se encuentra sobre todo en Tomás de Aquino (1225-1274) y fue creada por vez primera por Isaac Israeli, (855 - 955), e indica que la verdad es la correspondencia o acuerdo entre la realidad y su representación lingüística y conceptual. Según otros autores, el origen de la expresión está realmente en Avicena (980-1037). En todo caso, esta concepción se encuentra ampliamente en la filosofía medieval y en especial en Tomás de Aquino y se reitera con significados alternativos en la filosofía del Racionalismo moderno, como en Leibniz y Hegel. En edad contemporánea es el foco de la filosofía analítica basada en la correspondencia entre el lenguaje y la realidad. ("Correspondencia entre el intelecto y la realidad")—: la ciencia ofrece procedimientos para demostrar o comprobar enunciados, y decir 'verdadero' sería una forma arcaica o redundante de decir 'demostrado' o 'probado'.
Pero las limitaciones de los formalismos, que Tarski contribuyó a descubrir en los años 30 —junto a Gödel, Alonzo Church y otros—, mostraban que para avanzar en matemáticas era necesario interpretar (en un modelo) los símbolos del lenguaje de los cálculos lógicos —por ejemplo, para obtener demostraciones de consistencia de un sistema formal relativas a otro, una vez que se demostró que la demostración absoluta es imposible—. Esto suponía recuperar el concepto de verdad para las oraciones, en el sentido clásico de "correspondencia" de las oraciones con sus referentes.
Aunque el sentido clásico debía ser recuperado, la expresión clásica era, según Tarski, defectuosa: el término "correspondencia" era como mucho una metáfora. Más precisa le resultaba, sin ser completamente adecuada, la concepción de Aristóteles:
.
Por otro lado, Tarski mostró cómo la preservación de ese concepto clásico requería no definirlo para cualquier lenguaje —o para un lenguaje ‘genuino’ al que serían traducibles todos los demás—, sino para lenguajes formales (de fórmulas) interpretables en dominios restringidos: si la concepción clásica se aplica a lenguajes que se refieren ilimitadamente a sí mismos —por ejemplo, la lengua nativa del teórico o de su lector humano— se hace posible caer en contradicciones como la paradoja del mentiroso.Jesús Padilla Gálvez, Verdad. Controversias abiertas, 2017, Cap. III.
Puede decirse que Tarski mostró cómo la concepción clásica sirve para avanzar desde los formalismos, y cómo los formalismos sirven para avanzar desde la concepción clásica, haciéndola más precisa y científica.
Requisitos de una definición de verdad
La aplicación no paradójica del concepto de verdad depende de la distinción, tomada de la escuela de David Hilbert, entre lenguaje objeto —para el que se define un concepto de verdad— y metalenguaje —en el que se define ese concepto de verdad y que abarca o representa al lenguaje objeto—. En lo que sigue, las expresiones entre comillas son nombres del metalenguaje para las oraciones del lenguaje objeto, y las expresiones de que forma parte el entrecomillado son expresiones del metalenguaje.
Adecuación material
La condición de adecuación material de Tarski supone que toda teoría lograda de la verdad implica, para cada oración P del lenguaje objeto X para el que se define la verdad, que
1. “P” es verdadera si y solo si P.
A este requisito se le denomina ‘convención T’ (o V, según la traducción). Así, tomando el ejemplo que Tarski hizo famoso, para la oración “La nieve es blanca” una hipotética teoría de la verdad para el castellano debe implicar que:
1’. “La nieve es blanca” es verdadera si y solo si la nieve es blanca.
No es una implicación tan trivial como puede parecer: el enunciado a la izquierda de “si y solo si” trata sobre la expresión “La nieve es blanca” mientras que el enunciado a la derecha trata sobre la nieve. En todo caso, el enunciado de la izquierda y el enunciado de la derecha son equivalentes según la concepción aristotélica que Tarski busca precisar, y por tanto las implicaciones son un requisito de adecuación material de la definición.
La apariencia de trivialidad es menos obvia si tomamos como lenguaje objeto el inglés y como metalenguaje una versión del castellano que incluye el inglés.
1’’. “The snow is white” es verdadera en inglés si y solo si the snow is white.
Esto último da la pauta al hablante castellano -con una teoría de lo verdadero en inglés- para saber si lo que ha dicho cierto inglés -"The snow is white"- es verdadero: acudir a su diccionario inglés-castellano y comprobar si el resultado de traducir 'the', 'snow', 'is', 'white', por este orden, da lugar a una verdad castellana.
1’ y 1’’ no son más que ilustraciones usando lenguas naturales –el inglés y el castellano con teoría-, que son las que abren paso a las paradojas. Tarski no creía posible que se pudiesen formular teorías de la verdad materialmente adecuadas para las lenguas naturales, ni siquiera creía que el intento tuviera sentido;lo que propuso