Los modelos compartimentales constituyen una técnica utilizada para simplificar la modelización matemática de las enfermedades infecciosas. La población se divide en compartimentos, asumiendo que cada individuo en un mismo compartimento tiene las mismas características.

Su origen se encuentra a principios del , siendo un trabajo importante la primera investigación de Kermack y McKendrick en 1927. Los modelos suelen investigarse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (las cuales son determinísticas), pero también se pueden observar en un marco estocástico, el cual es más realista pero también más complicado de analizar.

Los modelos compartimentales se pueden utilizar para predecir las características de propagación de una enfermedad, por ejemplo, la prevalencia (número total de infectados) o la duración de una epidemia.

Además, el modelo permite comprender cómo diferentes situaciones pueden afectar el resultado de la epidemia, por ejemplo, cuál es la técnica más eficiente para emitir un número limitado de vacunas en una determinada población. El modelo SIR El modelo SIR es uno de los modelos compartimentales más simples y muchos modelos derivan de este modelo básico. El modelo consta de tres compartimentos: S para el número de susceptibles, I para el número de infectados y R para el número de recuperados (o inmunes). Este modelo es razonablemente predictivo para enfermedades infecciosas que se transmiten de humano a humano y donde la recuperación confiere resistencia duradera, como el sarampión, las paperas y la rubéola.

Estas variables (S, I y R) representan el número de personas en cada compartimiento en un momento concreto. Para representar que el número de individuos susceptibles, infectados y recuperados puede variar con el tiempo (incluso si el tamaño de la población total permanece constante), los números precisos se convierten en una función de t (tiempo): S(t), I(t) y R(t). Para una enfermedad específica en una población específica, estas funciones pueden calcularse para predecir posibles brotes y controlarlos. El modelo SIR es dinámico en tres sentidos En cuanto a la función variable de la t, el modelo es dinámico en tanto que los números en cada compartimento pueden fluctuar con el tiempo. La importancia de este aspecto dinámico es más evidente en una enfermedad endémica con un corto período infeccioso, como el sarampión en el Reino Unido antes de la introducción de la vacuna en 1968. Estas enfermedades tienden a ocurrir en ciclos de brotes debido a la variación en el número de casos susceptibles (S(t)) a lo largo del tiempo. Durante una epidemia, el número de individuos susceptibles decrece rápidamente a medida que se infectan y, en consecuencia, entran en los compartimentos de infectados y recuperados. La enfermedad no puede brotar de nuevo hasta que el número de susceptibles haya vuelto a acumularse, por ejemplo, como resultado de la descendencia, que nace en el compartimento susceptible.

Cada miembro de la población suele pasar de susceptible a infectado, y a recuperado. Esto se puede mostrar como un diagrama de flujo en el que los cuadros representan los diferentes compartimentos y las flechas la transición entre compartimentos, por ejemplo: Tasas de transición Para que el modelo sea completamente específico, las flechas se tienen que etiquetar con las tasas de transición entre los compartimentos. Entre S y I, la tasa de transición es βI, donde β es el número promedio de contactos por persona por tiempo, multiplicado por la probabilidad de transmisión de la enfermedad en un contacto entre un sujeto susceptible y uno infectado. Entre I y R, la tasa de transición es γ (simplemente es la tasa de recuperación o muerte, es decir, el número de recuperados o muertos durante un día, dividido entre el número total de infectados de ese mismo día, suponiendo que el «día» es la unidad de tiempo). Si la duración de la infección es indicada como D, entonces γ = 1/D, ya que un individuo experimenta una recuperación en D unidades de tiempo. Se asume que la permanencia de cada sujeto en los estados epidémicos es una variable aleatoria con distribución exponencial. Se pueden utilizar distribuciones más complejas y realistas (como la distribución de Erlang) con algunas modificaciones. Tratamiento determinístico biomatemático del modelo SIR El modelo SIR sin dinámica vital. La dinámica de una epidemia, por ejemplo la gripe, a menudo es mucho más rápida que la dinámica del nacimiento y la muerte, por lo tanto, el nacimiento y la muerte suelen omitirse en modelos compartimentales simples. El sistema SIR sin la denominada dinámica vital (nacimiento y muerte, a veces denominada demografía), descrito anteriormente, puede expresarse mediante el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias:

donde es el conjunto de la población susceptible, es el conjunto de infectados, el de la población sin la enfermedad (por muerte o recuperación) y la suma de los tres.

Este modelo fue propuesto por primera vez por O. Kermack y Anderson Gray Mckendrick, como un caso especial de lo que ahora llamamos la teoría de Kermack y McKendrick, y dio seguimiento al trabajo de McKendrick con Ronald Ross. Este sistema es no lineal, sin embargo, es posible derivar su solución analítica de forma cerrada. Otras herramientas numéricas incluyen métodos de Monte Carlo, como el algoritmo Gillespie. Primero, nótese que:

a lo que sigue:

expresando en términos matemáticos la constante de población . Nótese que la relación anterior implica que tan solo se tiene que estudiar dos de las tres ecuaciones.

En segundo lugar, observamos que la dinámica de la clase infecciosa depende de la siguiente relación:

el llamado número básico de reproducción (también llamada ratio básica reproductiva). Esta ratio está derivada como el número de nuevas infecciones esperadas (estas nuevas infecciones se llaman secundarias) de una sola infección en una población donde todos los sujetos son susceptibles. Esta idea se puede comprobar mejor si se establece el tiempo típico entre contactos como y el tiempo típico hasta que no se tiene la enfermedad como . Desde aquí sigue que, en general, el número de contactos con una persona infecciosa antes de que ya no tenga la enfermedad es:

Dividiendo la primera ecuación diferencial entre un tercio, separando las variables e integrando los datos obtenemos

donde y son los números iniciales de, respectivamente, susceptibles y sin enfermedad. Si escribimos para la proporción inicial de susceptibles y and para los susceptibles y sin enfermedad, respectivamente, en el límite se obtiene

(nótese que el compartimento de infecciosos se vacía en este límite).

Esta ecuación trascendente tiene una solución en términos de la función de Lambert, que es:

Esto muestra que al final de una epidemia, a no ser que , no todos los individuos de una población no tienen la enfermedad, por lo tanto algunos pueden ser susceptibles. Esto quiere decir que el final de una epidemia está causada por el descenso en el número de infecciosos y no por la falta de sujetos susceptibles.

El rol del número básico de reproducción es extremadamente importante. De hecho, si reescribimos la ecuación para un individuo infeccioso de la siguiente manera:

vemos que si:

entonces:

habrá un brote epidémico con un número más alto de casos (lo que puede alcanzar a una gran parte de la población). Por el contrario:

entonces:

independientemente del tamaño inicial de la población susceptible, la enfermedad nunca puede causar un brote epidémico. Como consecuencia, está claro que el número básico reproductivo es muy importante.

La fuerza de la infección Hay que tener en cuenta que en el modelo anterior la función:

modela la ratio de transición del compartimento susceptible al infeccioso, así que se llama fuerza de la infección. Sin embargo, para clases de enfermedades más comunicables, es más realista considerar la fuerza de la infección que no depende del número absoluto de infecciosos, pero de la fracción (con respecto a la constante total de población ):

Capasso y, después, otros autores han propuesto fuerzas no-lineares para modelar de manera más realista el proceso de contagio.

Soluciones analíticas exactas al modelo SIR En el 2014, Harko y coautores derivaron una solución analítica exacta al modelo SIR. En el caso sin dinámica vital, para , etc. , corresponde a la siguiente parametización:

para

con condiciones iniciales

donde satisface . Con la ecuación trascendental anterior, sigue que , si y.

Se encontró una solución analítica equivalente a los rendimientos de Miller:

Aquí se puede interpretar como el número esperado de transmisiones que un individuo ha recibido por tiempo . Estas dos soluciones están relacionadas por

Efectivamente, el mismo resultado puede encontrarse en el trabajo original de Kermack y Mckendrick.

Estas soluciones se entienden mejor si vemos que todos los términos en la parte de la derecha de las ecuaciones diferenciales son proporcionales a . Las ecuaciones pueden ser divididas por , y el tiempo reescalado para que el operador en la izquierda se convierta simplemente en , donde , por ejemplo . Las ecuaciones diferenciales son ahora lineares y la tercera, con forma const. , muestra que y (y arriba ) se crean simplemente lineares.

El modelo SIR con dinámica vital y población constante Considere una población caracterizada por una tasa de mortalidad y una ratio de nacimiento , y donde enfermedades comunicables se propagan. El modelo de transmisión es:

para el cual el equilibrio sin enfermedad (DFE, en inglés) es:

En este caso, podemos derivar el número de reproducción básico:

que tiene propiedades de entrada. De hecho, independientemente de los valores biológicos iniciales, podemos ver que:

El punto EE, es el Equilibrio Endémico (la enfermedad no está erradicada y se mantiene en la población). Con argumentos heurísticos, uno puede ver que se puede leer como el promedio de infecciones causadas por un solo sujeto infeccioso en una población susceptible. La relación biológica anterior implica que si el número es igual o menor que 1 la enfermedad se extingue; por el contrario, si es mayor, la enfermedad se quedara permanentemente endémica en la población.

Modelo SIS thumb|Amarillo=Susceptible, Marrón=Infectado Algunas infecciones, por ejemplo las de la gripe común y la influenza, no confieren inmunidad duradera. Estas infecciones no dan inmunización al recuperarse de la infección, y los individuos vuelven a ser susceptibles.

400px|center|Modelo compartimental SIS

Tenemos el modelo:

Nótese que denominar con N al total de la población:

.

A lo que sigue:

,

Las dinámicas infecciosas se rigen por una logística funcional que implica :

Es posible encontrar una solución analítica a este modelo (transformando las variables: y sustituyéndolas por ecuaciones de campo), para que la ratio de reproducción básica sea mayor que la unidad. La solución se presenta como:

.

where is the endemic infectious population, , and . As the system is assumed to be closed, the susceptible population is then .

Como caso especial, se obtiene la función logística usual asumiendo que . Esto también se puede considerar en el modelo SIR con , en este caso no se quitará nada. Ese es el modelo SI.(p. 19) The SI Model La ecuación diferencial usando se reduce a:

A la larga, en este modelo, todos los individuos se infectan.

Explicaciones sobre el modelo SIR básico

El modelo MSIR

En muchas infecciones, incluyendo el sarampión, los bebés no nacen en el compartimento susceptible, sino que son inmunes a la enfermedad durante los primeros meses de vida debido a la protección de los anticuerpos maternos (transmitidos a través de la placenta y adicionalmente a través del calostro). Esto se denomina inmunidad pasiva. Este detalle adicional puede demostrarse con una clase M (para la inmunidad maternal) al inicio del modelo